[論文レビュー] Anti-self-dual bihermitian structures on Inoue surfaces

Akira Fujiki, Massimiliano Pontecorvo|ArXiv.org|Mar 9, 2009

Geometry and complex manifolds参考文献 22被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、ドナルドソンとフリードマンにインspiredされた twistor 法を用いて、双曲的および放物的イヌエ表面、ならびにその非空の反標準線形系統を有する小さな変形について、反自己双対な双ヘルミート構造の存在を確立する。さらに、半分イヌエ表面に対して反自己双対なヘルミート計量の族を構成し、クラス VII₀⁺ における一般化されたカーラーおよび局所的共形的カーラー構造の新しい例をもたらす。

ABSTRACT

We show that any hyperbolic Inoue surface (or Inoue-Hirzebruch surface of even type) admits anti-self-dual bihermitian structures. The same result also holds for any of its small deformations as far as its anti-canonical system is non-empty. Similar results are obtained for parabolic Inoue surfaces. Our method also yields anti-self-dual hermitian metrics on any half Inoue surface. We use the twistor method of Donaldson-Friedman for the proof.

研究の動機と目的

• 双曲的および放物的イヌエ表面、すなわちクラス VII₀⁺ に属するコンパクト複素表面に対して、反自己双対な双ヘルミート構造の存在を確立すること。
• 反標準線形系統が非空のままである限り、これらの表面の小さな変形に対してもこの結果を拡張すること。
• 双ヘルミート構造を持たない半分イヌエ表面に対して、反自己双対なヘルミート計量を構成すること。
• これらの構成が、新しい (ねじれた) 一般化されたカーラーおよび局所的共形的カーラー構造の例を生み出すことの証明。
• 既知の結果の部分的な逆を示すことにより、双曲的および放物的イヌエ表面に対して反自己双対な双ヘルミート構造の存在に十分な位相的および幾何的条件を提示すること。

提案手法

• ドナルドソンとフリードマンの twistor 法を応用し、イヌエ表面に作用する反自己双対計量に関連する twistor 空間を構成する。
• mℙ² 上のジョイスの twistor 空間を基礎モデルとして用い、自然な反標準除数を有する特異モデルへと変更する。
• 対 (Ẑ, Ŝ) の特異点の局所的構造を解析し、特異モデルの自己同型群を計算する。
• ペア (S, S̃) のクルナシ族に対する変形理論を適用し、特異 twistor 空間の滑らか化に対する障害の消失を示す。
• 除数およびその変形の幾何を研究するために、対数的層 Ω_X(log Y) および Θ_X(−log Y) を用いる。
• 主な構成のねじれた版を構築し、半分イヌエ表面に反自己双対なヘルミート計量を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双曲的イヌエ表面は反自己双対な双ヘルミート構造を持つのか？
• RQ2 反標準線形系統が非空である双曲的イヌエ表面の小さな変形に対しても、同様の構造が存在するのか？
• RQ3 放物的イヌエ表面およびその小さな変形は、反自己双対な双ヘルミート構造を持つのか？
• RQ4 同じ twistor フレームワークを用いて、半分イヌエ表面に反自己双対なヘルミート計量を構成できるのか？
• RQ5 これらの表面における結果の計量は、一般化されたカーラーまたは局所的共形的カーラー構造であるのか？

主な発見

• 任意の双曲的イヌエ表面は、2番目のベッチ数 m に対し、実 m 次元の反自己双対な双ヘルミート構造の族を有する。
• 反標準線形系統が非空である限り、双曲的イヌエ表面の任意の小さな変形に対しても同様の結果が成り立つ。
• 反標準除集合が非連結である放物的イヌエ表面およびその小さな変形に対しても、反自己双対な双ヘルミート構造が存在する。
• 任意の適切に blown-up された半分イヌエ表面には、実 m 次元の反自己双対なヘルミート計量の族が存在する。
• （吹き増し済みの）双曲的、放物的、および半分イヌエ表面におけるすべての構成計量は、(ねじれた) 一般化されたカーラーおよび局所的共形的カーラー構造である。
• これらは、LeBrunの放物的イヌエ表面に関する以前の結果を除き、クラス VII₀⁺ に属するコンパクト複素表面におけるこのような構造の最初の既知の例である。