[論文レビュー] Anti-selfdual Lagrangians: Variational resolutions of non self-adjoint equations and dissipative evolutions

Nassif Ghoussoub|ArXiv.org|Mar 24, 2005

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 11被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、古典的オイラー＝ラグランジュ理論では解けない非自己随伴かつ散乱的時間発展方程式（例えば輸送方程式や放物型PDE）を解くための変分的枠組みとして、反自己随伴（ASD）ラグランジアンを導入する。関数形 $ I(u) = \int L(t, u, \dot{u} + \Lambda_t u)\,dt $ の形で関数を構成し、ここで $ L $ はASDであり、$ \Lambda_t $ は境界項を除いて反対称である。解は関数値がゼロに達する最小化子として現れ、これにより元来保存的でない系に対しても変分的解析が可能になる。

ABSTRACT

We develop the concept and the calculus of anti-self dual (ASD) Lagrangians which seems inherent to many questions in mathematical physics, geometry, and differential equations. They are natural extensions of gradients of convex functions --hence of self-adjoint positive operators-- which usually drive dissipative systems, but also rich enough to provide representations for the superposition of such gradients with skew-symmetric operators which normally generate unitary flows. They yield variational formulations and resolutions for large classes of non-potential boundary value problems and initial-value parabolic equations. Solutions are minima of functionals of the form $I(u)=L(u, Λu)$ (resp. $I(u)=\int_{0}^{T}L(t, u(t), \dot u (t)+Λ_{t}u(t))dt$) where $L$ is an anti-self dual Lagrangian and where $Λ_{t}$ are essentially skew-adjoint operators. However, and just like the self (and antiself) dual equations of quantum field theory (e.g. Yang-Mills) the equations associated to such minima are not derived from the fact they are critical points of the functional $I$, but because they are also zeroes of the Lagrangian $L$ itself.

研究の動機と目的

• 保存的でなく、自己随伴でもない微分方程式に対する変分的枠組みの構築。これは古典的オイラー＝ラグランジュ形式では定式化できない。
• 熱方程式や輸送方程式といった散乱系を解く際、古典的変分法の限界を克服すること。
• ASDラグランジアンを用いた境界値問題や初期値放物型方程式の体系的変分的解法の提供。
• 解が臨界点としてではなく、ラグランジアンがゼロとなる点として現れることを確立し、最小値が常にゼロであることを保証すること。

提案手法

• 空間 $ X \times X^* $ 上に定義された反自己随伴（ASD）ラグランジアン $ L $ を定義し、$ L(x,p) = -L^*(x,-p) $ を満たす。これは凸勾配の一般化である。
• 関数 $ I(u) = \int_0^T L(t, u(t), \dot{u}(t) + \Lambda_t u(t))\,dt $ を構成し、ここで $ \Lambda_t $ は境界項を除いて反対称である。
• Legendre-Fenchel共役と境界項を組み合わせた双対性に基づく枠組みを用い、関数がゼロの最小値に達することを保証する。
• 時間依存問題に適用するため、$ \Lambda_t $ を経路空間上での反対称作用素として埋め込む。
• このような関数の最小化子がオイラー＝ラグランジュ方程式を介さずに、ラグランジアンが解においてゼロとなることにより、元のPDEを満たすことを確認する。
• 強制性と境界積分項（例：$ \frac{1}{2}\int_{\partial\Omega} \langle Ju, u \rangle \,d\mu $）を用い、境界条件を満たし、解の存在を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非自己随伴かつ非保存的微分方程式は、新たなクラスのラグランジアンを用いて変分的定式化可能か？
• RQ2 熱方程式や輸送方程式といった散乱系は、オイラー＝ラグランジュ方程式でない場合に、どのように変分原理によって解けるか？
• RQ3 ASDラグランジアンから構成された関数の最小値がゼロであり、かつPDEの解に対応するための条件は何か？
• RQ4 境界項を含むASDラグランジアンを用いて境界値問題を解くことは可能か？その際、境界を除いて反対称性が保たれるか？
• RQ5 関数が臨界点であるのではなく、ラグランジアン自体が解においてゼロとなるという役割は何か？

主な発見

• 非自己随伴方程式（例：$ \Omega \subset \mathbb{R}^n $ 上の輸送方程式 $ -\sum a_i \partial_i u + a_0 u = \beta(u) + f $、境界 $ u = 0 $ on $ \Sigma_- $）の解は、関数値がゼロに達する関数 $ I(u) $ の最小化子として得られる。
• 陰伏的輸送方程式 $ \frac{1}{2}u^2 + u + \frac{1}{2}(-\mathbf{a} \cdot \nabla u - 1)^2 - (\mathbf{a} \cdot \nabla u)u = 0 $ に対して、最小化子 $ \bar{u} $ が存在し、$ I(\bar{u}) = 0 $ を満たす。被積分関数の非負性により、解は点ごとの方程式を満たす。
• 関数 $ I(u) $ は $ \int_\Omega \left( \frac{1}{2}u^2 + u + \frac{1}{2}(-\mathbf{a} \cdot \nabla u - 1)^2 \right) dx + \frac{1}{2}\int_{\Sigma_+} |u|^2 \mathbf{n} \cdot \mathbf{a} \, d\sigma - \frac{1}{2}\int_{\Sigma_-} |u|^2 \mathbf{n} \cdot \mathbf{a} \, d\sigma $ として構成され、その最小値はゼロである。
• 鍵となる洞察は、ラグランジアン $ L $ が反自己随伴であり、作用素 $ \Lambda u = \mathbf{a} \cdot \nabla u $ が境界を除いて反対称であることである。これにより変分的解法が可能になる。
• この手法は放物型方程式 $ \partial_t u = \Delta u^m + f $ に対しても適用可能であり、時間依存ASD関数の最小化子として解が得られ、最小値はゼロである。
• 理論により、最小値は常にゼロであり、解は関数の臨界点ではなく、点ごとに $ L(u, \Lambda u) = 0 $ を満たすことで特徴づけられる。