[論文レビュー] Anti-van der Waerden numbers of 3-term arithmetic progressions

Zhanar Berikkyzy, Alex Schulte+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2016

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、定数 $C$ に対して $⌈ \log_3 n \rceil + C$ で有界であるとされる反ヴァンダールワールデン数 $ \operatorname{aw}([n],3)$ の予想を、すべての $n$ に対して $ \operatorname{aw}([n],3)$ の正確な値を特定することによって解決する。$7 \cdot 3^{m-2} + 1 \leq n \leq 21 \cdot 3^{m-2}$ の範囲で、$n = 3^m$ の場合 $ \operatorname{aw}([n],3) = m+2$、それ以外の場合は $m+3$ であることを証明し、予想を確認するとともに、正確な色分けにおける虹色3項等差数列の閾値を確立する。

ABSTRACT

The \emph{anti-van der Waerden number}, denoted by $aw([n],k)$, is the smallest $r$ such that every exact $r$-coloring of $[n]$ contains a rainbow $k$-term arithmetic progression. Butler et. al. showed that $\lceil \log_3 n ceil + 2 \le aw([n],3) \le \lceil \log_2 n ceil + 1$, and conjectured that there exists a constant $C$ such that $aw([n],3) \le \lceil \log_3 n ceil + C$. In this paper, we show this conjecture is true by determining $aw([n],3)$ for all $n$. We prove that for $7\cdot 3^{m-2}+1 \leq n \leq 21 \cdot 3^{m-2}$, \[ aw([n],3)=\left\{\begin{array}{ll} m+2, & \mbox{if $n=3^m$}\\ m+3, & \mbox{otherwise}. \end{array} ight.\]

研究の動機と目的

• バトラーらの予想である、ある定数 $C$ に対してすべての $n$ に対して $\operatorname{aw}([n],3) \leq \lceil \log_3 n \rceil + C$ が成り立つことを解決すること。
• すべての $n \geq 2$ に対して $\operatorname{aw}([n],3)$ の正確な値を特定すること。
• $\operatorname{aw}([n],3)$ と $\operatorname{aw}_u([n],3)$ の関係を確立し、すべての $n$ に対してそれらが等しいことを示すこと。
• 虹色3項等差数列を避ける極値色分けの構造的および再帰的特徴を特定すること。

提案手法

• 表1からの基本ケースを用いて、$n$ に関する数学的帰納法を用いて $\operatorname{aw}([n],3)$ の正確な公式を証明する。
• 区間 $[n]$、$[h]$、$[h-1]$（$h = \lfloor n/3 \rfloor$）の構造を用い、モジュロ演算と色分けの拡張によりユニタリ色分けを構成する。
• 定理3を $\operatorname{aw}(\mathbb{Z}_n,3)$ に適用し、素因数分解の性質を活用して $\operatorname{aw}(\mathbb{Z}_{2q},3)$ を $\log_3(2q)$ の項で有界化する。
• 特定の色パターンを持つ8項等差数列を含む特殊な色分けを分析し、$n$ と $q$ に対する制約を導出し、$r$ に対する境界を導く。
• 区間内の色分けパターンの対称性と反転を用いて、$\mathbb{Z}_{2q}$ における虹色3-APを含まない色分けを構築し、再帰的境界を得る。
• 背理法による証明：$r$ 色の色分けが虹色3-APを含まないと仮定すると、$r \leq f(n) - 1$ でなければ矛盾が生じるため、上界が証明される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての $n \geq 3$ に対して、ある定数 $C$ が存在して $\operatorname{aw}([n],3) \leq \lceil \log_3 n \rceil + C$ が成り立つだろうか？
• RQ2 すべての $n$ に対して $\operatorname{aw}([n],3)$ の正確な値は何か？
• RQ3 ユニタリ反ヴァンダールワールデン数 $\operatorname{aw}_u([n],3)$ と $\operatorname{aw}([n],3)$ の関係は何か？
• RQ4 虹色3-APを避ける極値色分けの構造的性質は何か？

主な発見

• 予想である $\operatorname{aw}([n],3) \leq \lceil \log_3 n \rceil + C$ は $C = 3$ で確認され、正確な値が特定された。
• 区間 $7 \cdot 3^{m-2} + 1 \leq n \leq 21 \cdot 3^{m-2}$ において、$n = 3^m$ のとき $\operatorname{aw}([n],3) = m+2$、それ以外の場合は $m+3$ である。
• すべての $n \geq 2$ に対して $\operatorname{aw}_u([n],3) = \operatorname{aw}([n],3)$ が成り立ち、ユニタリ色分けが極値閾値に達することを示した。
• 区間の縮小と色分けの対称性を用いた帰納法と背理法により、上界 $\operatorname{aw}([n],3) \leq f(n)$ が証明された。
• 分析から、$n \geq 9q$ ならば9項等差数列は虹色3-APを含む必要があることが示され、$n \leq 9q - 1$ に制限される。これにより、可能な色分けが制限される。
• 特に $q = 3^i$ のとき、$\operatorname{aw}(\mathbb{Z}_{2q},3) \leq \lceil \log_3(2q) \rceil + 2$ が成り立ち、帰納ステップで $r \leq f(n) - 1$ を示すためにこの境界が用いられた。