[論文レビュー] Anti-Windup Approximations of Oblique Projected Dynamics for Feedback-based Optimization

Adrian Hauswirth, Florian Dörfler+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2020

Advanced Wireless Network Optimization参考文献 23被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、入力制約が明示的に分かっていない最適化を実現するため、飽和を伴う高ゲイン積分制御を用いて斜交射影力学系（PDS）のアンチワインドアップ近似を提案する。アンチワインドアップゲインを大きくする際、一様収束性と半グローバル実用的安定性が確立され、強い単調性を示すベクトル場に対してはロバスト漸近的収束が達成され、入力制約の明示的知識が不要なフィードバックベース最適化が可能になる。

ABSTRACT

In this paper we study how high-gain anti-windup schemes can be used to implement projected dynamical systems in control loops that are subject to saturation on a (possibly unknown) set of admissible inputs. This insight is especially useful for the design of autonomous optimization schemes that realize a closed-loop behavior which approximates a particular optimization algorithm (e.g., projected gradient or Newton descent) while requiring only limited model information. In our analysis we show that a saturated integral controller, augmented with an anti-windup scheme, gives rise to a perturbed projected dynamical system. This insight allows us to show uniform convergence and robust practical stability as the anti-windup gain goes to infinity. Moreover, for a special case encountered in autonomous optimization we show robust convergence, i.e., convergence to an optimal steady-state for finite gains. Apart from being particularly suited for online optimization of large-scale systems, such as power grids, these results are potentially useful for other control and optimization applications as they shed a new light on both anti-windup control and projected gradient systems.

研究の動機と目的

• アンチワインドアップ制御と射影力学系（PDS）の間の厳密な関係を、制約付き最適化の文脈で確立すること。
• 凸性の仮定を緩和し、非凸なprox-regularな実行可能集合を許容することで、先行研究を一般化すること。
• リーマン計量を用いた斜交PDSへのフレームワークの拡張により、射影ニュートンフローを含むより広範なダイナミクスを可能にすること。
• 有限および無限ゲイン下でのアンチワインドアップ近似の収束性と安定性を分析し、特に自律的最適化の文脈で評価すること。
• 入力制約が物理的に制限され、かつ未知であるような実世界のシステム（例：電力系統）への適用可能性を示すこと。

提案手法

• 高ゲインアンチワインドアップ補強を施した飽和積分コントローラーとしてアンチワインドアップ近似（AWA）を定式化し、射影ダイナミクスを模倣する。
• リーマン計量を用いて定義される斜交射影を用いて、標準的な射影フローの一般化を図り、ニュートン型ダイナミクスを含める。
• 射影と飽和による不連続性を有する微分包含として、得られた摂動系を分析する。
• アンチワインドアップゲイン $K \to \infty$ の極限において、AWA軌道が制限されたPDSの解に一様収束することを確立する。
• 解が一意でないか、有限逃げ時間を持つ場合でも、アンチワインドアップ摂動下でのPDSの半グローバル実用的ロバスト性を証明する。
• 強い単調性を示すベクトル場に対しては、有限の $K$ に対しても均衡点のロバスト漸近的安定性が達成されることを示し、漸近的結果の範囲を超える。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高ゲインアンチワインドアップゲインの極限において、アンチワインドアップ制御方式が斜交射影力学系を厳密に近似できるか？
• RQ2 提案フレームワークは、実行可能集合が非凸的だがprox-regularな場合でも収束性と安定性を維持するか？
• RQ3 有限ゲイン下でのアンチワインドアップ近似は、元の射影勾配またはニュートンフローの収束速度を保持できるか？
• RQ4 有限ゲイン下で、アンチワインドアップ近似が最適解へのロバスト漸近的安定性をもたらす条件は何か？
• RQ5 物理的飽和をどのように活用することで、入力制約の明示的知識がなくてもフィードバックベース最適化を実装できるか？

主な発見

• アンチワインドアップ近似軌道が、アンチワインドアップゲイン $K \to \infty$ の極限において、制限された斜交射影力学系の解に一様収束することが確立された。
• アンチワインドアップ摂動下でも、解が一意でないか有限逃げ時間を持つ場合でも、射影力学系の半グローバル実用的ロバスト性が証明された。
• 強い単調性を示すベクトル場に対しては、有限のアンチワインドアップゲイン $K$ に対しても、均衡点のロバスト漸近的安定性が達成された。これは、極限でのみ成立する結果を超えていた。
• 反例により、収束のためにはprox-regular性が必須であり、さらに緩和できないことが示された。
• シミュレーションでは、内部状態 $u$ が収束しない場合でも、飽和制御入力 $P_{\mathcal{U}}(u)$ と双対変数は最適解に収束した。
• アンチワインドアップ勾配スキームの観察された収束速度は、アンチワインドアップゲインに依存しないように見え、驚くべきロバスト性の性質を示唆しており、さらなる分析を要する。