[論文レビュー] Anticipating Random Periodic Solutions--II. SPDEs with Multiplicative Linear Noise

Chunrong Feng, Yue Wu+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2018

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、境界が滑らかな有界領域上における非線形ストキャスティック偏微分方程式（SPDE）に対して、$L^2(\mathcal{O})$ 上の無限時間ホライズン確率積分方程式の対（前向き・後向き）を用いて、乗法的線形ノイズを伴う半線形SPDEに対して、確率的周期的解の存在を確立する。一般化されたシュアウトルの不動点定理、ウィーナー＝ソボレフ空間における相対的コンパクト性、および局所化補題を用いることで、著者らは存在結果を証明し、それらを周期的ポテンシャルを有する確率的アレン・コーエン方程式に応用する。

ABSTRACT

In this paper, we study the existence of random periodic solutions for semilinear stochastic partial differential equations with multiplicative linear noise on a bounded open domain ${\cal O}\subset {\mathbb R}^d$ with smooth boundary. We identify them with the solutions of coupled forward-backward infinite horizon stochastic integral equations in $L^2({\cal O})$. We then use generalized Schauder's fixed point theorem, the relative compactness of Wiener-Sobolev spaces in $C^0([0, T], L^2(Ω imes{\cal O}))$ and a localization argument to prove the existence of solutions of the infinite horizon integral equations, which immediately implies the existence of the random periodic solution to the corresponding SPDEs. As an example, we apply our result to the stochastic Allen-Cahn equation with a periodic potential and prove the existence of a random periodic solution using a localisation argument.

研究の動機と目的

• 境界が滑らかな有界領域上における非線形SPDEに対して、乗法的線形ノイズを伴う確率的周期的解の存在を確立すること。
• 確率的周期的解が予測不能であるという性質（アタック型）に起因する課題に対処すること。これは、スコロホド型確率積分を必要とする。
• マリヤン・微分の推定に起因する困難を克服するため、確率的線形進化作用素を導入し、問題を対（前向き・後向き）の無限時間ホライズン確率積分方程式（IHRIEs）に再定式化すること。
• 特にSPDEに対して、無限次元設定への確率的周期的解の理論を拡張すること。
• 物理的に重要なモデル、例えば周期的ポテンシャルを有する確率的アレン・コーエン方程式への適用可能性を示すこと。

提案手法

• SPDEを $L^2(\mathcal{O})$ 上の対（前向き・後向き）無限時間ホライズン確率積分方程式（IHSIEs）として定式化する。
• 乗法的ノイズを取り扱うために確率的線形進化作用素を用い、スコロホド積分の直接的取り扱いを回避する。
• 一般化されたシュアウトルの不動点定理を用いて、無限時間ホライズン積分方程式の解の存在を証明する。
• 近似列の収束を保証するために、$C^0([0,T], L^2(\Omega \times \mathcal{O}))$ 内のウィーナー＝ソボレフ空間の相対的コンパクト性を活用する。
• 非線形項の制御と不動点法における一様有界性の確保のため、局所化補題を実装する。
• 解析において、一様楕円型作用素 $\mathcal{L}$ の固有関数 $\{\phi_k\}$ と固有値 $\{\mu_k\}$ を用いたスペクトル分解を利用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 乗法的線形ノイズを伴う半線形SPDEに対して、その解が予測不能であるという性質を考慮すると、確率的周期的解が存在しうるか？
• RQ2 確率的周期的解の文脈において、スコロホド型確率積分が引き起こす解析的課題をどのように克服できるか？
• RQ3 無限次元SPDEに於いて、乗法的ノイズを伴う確率的周期的解の存在を保証する条件は何か？
• RQ4 本フレームワークは、周期的ポテンシャルを有する確率的アレン・コーエン方程式のような物理的に重要なモデルに適用可能か？
• RQ5 ウィーナー＝ソボレフ空間の相対的コンパクト性が、無限次元設定における存在証明にどのように寄与するか？

主な発見

• 乗法的線形ノイズを伴うSPDEに対して、対（前向き・後向き）無限時間ホライズン確率積分方程式の解を用いて、確率的周期的解の存在が確立された。
• スコロホド積分の直接的取り扱いを回避するため、確率的線形進化作用素を導入し、不動点法の適用を可能にした。
• $C^0([0,T], L^2(\Omega \times \mathcal{O}))$ 内のウィーナー＝ソボレフ空間の相対的コンパクト性が、不動点法における収束部分列の抽出に用いられた。
• 非線形項の制御のため、局所化補題が成功裏に適用され、不動点定理に必要な一様有界性が保証された。
• 周期的ポテンシャル $F(t,u) = u - u^3 + \sin t$ を有する確率的アレン・コーエン方程式に対して、弱い散逸性条件が満たされており、周期 $2\pi$ の確率的周期的解の存在が証明された。
• 存在結果に不可欠な散逸性を保証するために、キーパラメータ $\tilde{M} = M - \epsilon > \sigma^2/2$ が用いられた。