[論文レビュー] Anticommuting Integrals and Fermionic Field Theories for Two-Dimensional Ising Models

V. N. Plechko|ArXiv.org|Jul 7, 1996

Theoretical and Computational Physics参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、グラスマン積分を用いて2次元イジング模型のフェルミオン場理論的定式化を提示し、スピン多項式表現を通じて分配関数がガウス型フェルミオン積分として表現可能であることを示している。この手法により、連続極限で質量のある2成分メジャナラ理論が得られ、臨界温度 T_c における質量の消滅によって臨界的挙動が記述され、さまざまな格子型が普遍的な場理論的枠組みで統一される。

ABSTRACT

We review the applications of the integral over anticommuting Grassmann variables (nonquantum fermionic fields) to the analytic solutions and the field-theoretical formulations for the 2D Ising models. The 2D Ising model partition function $Q$ is presentable as the fermionic Gaussian integral. The use of the spin-polynomial interpretation of the 2D Ising problem is stressed, in particular. Starting with the spin-polynomial interpretation of the local Boltzmann weights, the Gaussian integral for $Q$ appears in the universal form for a variety of lattices, including the standard rectangular, triangular, and hexagonal lattices, and with the minimal number of fermionic variables (two per site). The analytic solutions for the correspondent 2D Ising models then follow by passing to the momentum space on a lattice. The symmetries and the question on the location of critical point have an interesting interpretation within this spin-polynomial formulation of the problem. From the exact lattice theory we then pass to the continuum-limit field-theoretical interpretation of the 2D Ising models. The continuum theory captures all relevant features of the original models near $T_c$. The continuum limit corresponds to the low-momentum sector of the exact theory responsible for the critical-point singularities and the large-distance behaviour of correlations. The resulting field theory is the massive two-component Majorana theory, with mass vanishing at $T_c$. By doubling of fermions in the Majorana representation, we obtain as well the 2D Dirac field theory of charged fermions for 2D Ising models. The differences between particular 2D Ising lattices are merely adsorbed, in the field-theoretical formulation, in the definition of the effective mass.

研究の動機と目的

• グラスマン変数を用いて、さまざまな格子型にわたる2次元イジング模型の統一的場理論的定式化を確立すること。
• 2次元イジング模型の分配関数がスピン多項式表現を通じてガウス型フェルミオン積分として表現可能であることを示すこと。
• 格子理論の連続極限を導出し、その結果得られる場理論が質量のある2成分メジャナラ理論であることを特定すること。
• 臨界点特異性および長距離相関が、正確な格子理論の低運動量領域から生じることを示すこと。
• 対称性および格子固有の差異が、場理論的定式化における有効質量項にどのように作用するかを検討すること。

提案手法

• イジング模型の局所的ボルツマン重みをスピン変数における多項式として表現し、グラスマン積分の定式化を可能にする。
• 各格子点に2つのフェルミオン変数を用いて、全分配関数 Q を反交換するグラスマン変数上のガウス積分として表現する。
• 格子上で運動量空間への変換を施し、長方形格子、正三角格子、ヘキサゴナル格子のすべてにおいて普遍的挙動が明らかになるように解析的に解く。
• 連続極限を格子理論の低運動量領域として特定し、臨界現象がメジャナラ場の質量ゼロ極限に支配されることを示す。
• メジャナラ表現におけるフェルミオン自由度を2重にすることで、電荷を帯びたフェルミオンの2次元ディラック場理論に同等の理論を得る。
• 格子固有の差異を連続場理論における有効質量の定義に取り込む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元イジング模型の分配関数は、さまざまな格子型にわたって普遍的にグラスマンガウス積分として定式化可能か？
• RQ2 スピン多項式表現における対称性および臨界点の位置は、イジング模型の定式化においてどのように現れるか？
• RQ3 2次元イジング模型の臨界的および長距離挙動を記述する連続場理論は何か？
• RQ4 格子固有の詳細（例：正三角格子対長方形格子）は、連続極限における有効場理論にどのように影響を与えるか？
• RQ5 2次元イジング模型の文脈において、メジャナラ理論とディラック理論の関係は何か？

主な発見

• 2次元イジング模型の分配関数は、スピン多項式表現を用いることで、正確にガウス型グラスマン積分として表現可能である。
• 本手法により、長方形格子、正三角格子、ヘキサゴナル格子のすべてに対して、フェルミオン自由度を最小限（1格子点あたり2つ）に抑えた普遍的な分配関数の形が得られる。
• 格子上で運動量空間に変換することで解析的解が得られ、普遍的な臨界的挙動が明らかになる。
• 理論の連続極限は、質量が臨界温度 T_c で消える質量のある2成分メジャナラ場理論である。
• 格子固有の差異は、連続場理論における有効質量項に符号化されており、場理論の根本的構造には影響しない。
• メジャナラ表現におけるフェルミオン自由度を2重にすることで、電荷を帯びたフェルミオンの2次元ディラック場理論と同等の理論が得られ、イジング模型の場理論的実現が可能になる。