[論文レビュー] Any Baumslag-Solitar action on surfaces with a pseudo-Anosov element has a finite orbit

Nancy Guelman, Isabelle Liousse|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2017

Geometric and Algebraic Topology参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、閉じた曲面上における Baumslag-Solitar 群 $BS(1,n)$ の忠実な $C^1$ 動きに、ペシオ・アノソフ要素が存在する場合、有限軌道をもつ必要があることを証明する。力学系の技法、特に不安定多様体と微分的成長推定を用いて、ペシオ・アノソフ要素の存在が、不変な有限集合を保存することを示し、したがって、アノソフ的ダイナミクスを有するトーラス上の忠実な $C^1$ 動きが不可能であることを排除する。

ABSTRACT

We consider $f, h$ homeomorphims generating a faithful $BS(1,n)$-action on a closed surface $S$, that is, $h f h^{-1} = f^n$, for some $ n\\geq 2$. According to \\cite{GL}, after replacing $f$ by a suitable iterate if necessary, we can assume that there exists a minimal set $\\Lambda$ of the action, included in $Fix(f)$. Here, we suppose that $f$ and $h$ are $C^1$ in neighbourhood of $\\Lambda$ and any point $x\\in\\Lambda$ admits an $h$-unstable manifold $W^u(x)$. Using Bonatti's techniques, we prove that either there exists an integer $N$ such that $W^u(x)$ is included in $Fix(f^N)$ or there is a lower bound for the norm of the differential of $h$ only depending on $n$ and the Riemannian metric on $S$. Combining last statement with a result of \\cite{AGX}, we show that any faithful action of $BS(1, n)$ on $S$ with $h$ a pseudo-Anosov homeomorphism has a finite orbit. As a consequence, there is no faithful $C^1$-action of $BS(1, n)$ on the torus with $h$ an Anosov.

研究の動機と目的

• 閉じた曲面上における $BS(1,n)$ の忠実な $C^1$ 動きがペシオ・アノソフ要素をもつ場合、有限軌道をもたないで存在しうるかを特定すること。
• 最小集合および固定点集合の近傍における $BS(1,n)$ 動きの力学的挙動を分析すること。
• 不変多様体 $h$ の不安定多様体が $f$ の周期的または固定点の存在を強制する条件を確立し、有限軌道の存在に導くこと。
• 幾何学的および力学的制約を用いて、$h$ がアノソフである場合に $BS(1,n)$ がトーラス上で忠実かつ $C^1$ スムーズに作用できるかを解明すること。

提案手法

• 作用に対して、$f$ が反復後に恒等写像にホモトープであると仮定し、最小集合 $\Lambda \subset \operatorname{Fix}(f)$ が存在することを用いる。
• Bonatti の不安定多様体および微分的成長に関する技法を適用し、$h$ の微分のノルムが不安定方向に沿ってどのように変化するかを分析する。
• リーマン計量にのみ依存する $n$ に依存する、$\Lambda$ の近傍 $W$ における $Dh$ の作用素ノルム $\mathcal{S}(h,W)$ の下界を確立する。
• 文献 [AGX] の結果を用い、伸張係数 $\lambda > n$ ならば $f = \mathrm{id}$ となることから、$\lambda \leq n$ でなければ矛盾が生じることを導く。
• もし $W^u(x_0)$ が $\operatorname{Fix}(f^N)$ に含まれないならば、$\mathcal{S}(h,W) \geq \frac{n}{C_S}$ が成り立つことが示され、ペシオ・アノソフ力学の成長推定と組み合わせて矛盾を導く。
• 文献 [Wea] の主定理における不変コンパクト集合に関する結果を用い、矛盾を導くために背理法を適用する。その結果、不安定多様線上の点は、微分的成長が大きすぎる場合を除き、すべて固定点でなければならない。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 閉じた曲面上に、ペシオ・アノソフ要素をもつ忠実な $C^1$ 動きが、有限軌道をもたずに存在しうるか？
• RQ2 $h$ の不安定多様線が $f$ の固定点集合と交差する場合、どのような力学的制約が生じるか？
• RQ3 $h$ の微分の成長率が、$f$ が自明または周期的であることを強制するか？
• RQ4 $BS(1,n)$ が $h$ がアノソフである場合に、トーラス上で忠実かつ $C^1$ スムーズに作用できるか？
• RQ5 $h$ の特異点集合 $\Sigma$ が、有限軌道をもたない忠実な作用を妨げる役割を果たすか？

主な発見

• 閉じた曲面上に、ペシオ・アノソフ要素をもつ忠実な $C^1$ 動きとして $BS(1,n)$ が作用する場合、必ず有限軌道をもつ。
• もし $\Lambda$ 内の点における $h$ の不安定多様線が $\operatorname{Fix}(f^N)$ に含まれないならば、$Dh$ の作用素ノルムは $\mathcal{S}(h,W) \geq \frac{n}{C_S}$ を満たす必要がある。
• ペシオ・アノソフ要素の存在により、伸張係数 $\lambda$ は $\lambda \leq n$ を満たさなければならないが、微分的成長推定より $\lambda \geq n$ であるため、$\lambda = n$ が導かれる。しかし、ペシオ・アノソフ写像では $\lambda$ が整数にはなりえないという既知の事実と矛盾する。
• $\operatorname{Fix}(f)$ は、$h$ に関して不変で有限な特異点集合 $\Sigma$ と交わらなければならない。これは、作用が有限軌道をもつことを示唆する。
• その結果、$h$ がアノソフであるような $BS(1,n)$ のトーラス上への忠実な $C^1$ 動きは存在しない。なぜなら、このような作用は $\lambda > n$ を要し、それにより $f = \mathrm{id}$ となって忠実性が破れるからである。
• 本稿は、ペシオ・アノソフ要素をもつ $BS(1,n)$ の忠実な $C^1$ 動きの唯一の可能な形式が有限軌道をもつものであることを確立し、表面群作用における重要な未解決問題を解決した。