[論文レビュー] Any flat bundle on a punctured disc has an oper structure

Edward Frenkel, Xinwen Zhu|arXiv (Cornell University)|Nov 19, 2008

Advanced Algebra and Geometry参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、任意の複素連結型再帰的代数群 $G$ に対して、穴あき円板上の任意の平坦 $G$-バンドルがオペラ構造をもつことを、アフィン・スプリンガー・ファイバーの変形を用いて証明する。主な結果は、$G$-オペラから平坦 $G$-バンドルへの忘却写像の全射性を確立し、局所幾何的ラングランズプログラムの中心的予想を解決する。

ABSTRACT

We prove that any flat G-bundle, where G is a complex connected reductive algebraic group, on the punctured disc admits the structure of an oper. This result is important in the local geometric Langlands correspondence proposed in arXiv:math/0508382. Our proof uses certain deformations of the affine Springer fibers which could be of independent interest. As a byproduct, we construct representations of affine Weyl groups on the homology of these deformations generalizing representations constructed by Lusztig.

研究の動機と目的

• 穴あき円板 $D^\times = \mathrm{Spec}\,\mathbb{C}((t))$ 上の任意の平坦 $G$-バンドルが、[Fr1] および [FG] で予想されたようにオペラ構造をもつことを証明すること。
• 局所幾何的ラングランズ対応に不可欠な、$\mathrm{Op}_G(D^\times) \to \mathrm{Loc}_G(D^\times)$ の忘却写像の全射性を確立すること。
• アフィン・ウェイル群の表現を、変形されたアフィン・スプリンガー・ファイバーのホモロジー上に構成し、ルシュツィッグの構成を一般化すること。
• アフィン・カック＝モーディ・代数の臨界レベルにおけるモジュール圏を、オペラ構造を通じて幾何的に実現する枠組みを提供すること。

提案手法

• 接続 $A \in \mathfrak{g}(F)$ と $I_{\mathrm{aff}}$ の部分集合 $J$ をパrameterとする、アフィン旗多様体 $G(F)/P_J$ 内の変形されたアフィン・スプリンガー・ファイバー $X_{A,J}$ を導入する。
• $\mathrm{Aut}^+(D)$ がレヴィ商 $G_J = P_J/P_J^u$ に作用する方法を定義し、それが自明に作用することを示し、変形の整合性を保証する。
• $X_A$（変形されたスプリンガー・ファイバー）とグロテンディークの変形 $\widetilde{\mathfrak{g}}_J \to \mathfrak{g}_J$ の間にカルテジアン・ダイアグラムを構成し、写像 $\varphi_J: X_{A,J} \to \mathfrak{g}_J/G_J$ を通じて関係を定める。
• この図式の $G_J$--equivariant 構造を用いて、$\pi_{J*}\underline{\mathbb{C}}$ に $W_J$-作用を誘導し、結果として $H_*(X_A)$ に作用させる。
• $J \subsetneq I_{\mathrm{aff}}$ 全体にわたる極限構成を用いて、有限ウェイル群作用をアフィン・ウェイル群 $W_{\mathrm{aff}}$ の作用へ上昇させる。
• 得られたホモロジー表現を応用し、関連する軌道写像が全射であることを示すことにより、任意の平坦 $G$-バンドルがゲージ同値にオペラに同値であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 穴あき円板上の任意の平坦 $G$-バンドルは、オペラ条件を満たすボレル部分群への還元をもつ、すなわちオペラ構造をもつか？
• RQ2 $G$ が再帰的である限り、$\mathrm{Op}_G(D^\times) \to \mathrm{Loc}_G(D^\times)$ の忘却写像が全射であることを示せるか？
• RQ3 変形されたアフィン・スプリンガー・ファイバー $X_{A,J}$ は、ルシュツィッグの有限ウェイル群表現を一般化するアフィン・ウェイル群 $W_{\mathrm{aff}}$ の表現をもつか？
• RQ4 正則性条件を要しないで、任意の平坦接続をオペラ形に持ち込める幾何的機構は存在するか？（コスタントの定理の類似）
• RQ5 忘却写像の全射性が必須条件であるならば、局所幾何的ラングランズ対応はどのようにオペラ構造を通じて実現できるか？

主な発見

• 忘却写像 $\mathrm{Op}_G(D^\times) \to \mathrm{Loc}_G(D^\times)$ は全射であり、穴あき円板上の任意の平坦 $G$-バンドルがオペラ構造をもつことを証明する。
• 変形されたアフィン・スプリンガー・ファイバー $X_{A,J}$ は $G(F)/P_J$ 内に整合的に定義され、自然な $G_J$-作用をもち、$\mathrm{Aut}^+(D)$ は $G_J$ 上に自明に作用する。
• $X_A$（変形されたスプリンガー・ファイバー）とグロテンディークの変形 $\widetilde{\mathfrak{g}}_J \to \mathfrak{g}_J$ の間にカルテジアン・ダイアグラムを構成し、$G_J$-equivariant 構造の転送を可能にする。
• $H_*(X_A)$ には自然にアフィン・ウェイル群 $W_{\mathrm{aff}}$ の作用が入り、ルシュツィッグの通常のスプリンガー・ファイバーのホモロジー上での表現を一般化する。
• この構成により、臨界レベルで中心的文字がオペラによって決定されるアフィン・カック＝モーディ・代数のモジュール圏が、局所幾何的ラングランズプログラムが要請するように幾何的に実現される。
• 正則性を要件としないで、コスタントの定理の正則軌道への一般化を、穴あき円板上の接続の文脈に拡張した結果が得られる。