[論文レビュー] Any non-monomial polynomial of the Riemann zeta-function has complex zeros off the critical line

Takashi Nakamura, Łukasz Pańkowski|arXiv (Cornell University)|Dec 24, 2012

Analytic Number Theory Research参考文献 32被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、リーマンゼータ関数や関連するゼータ関数——特に対称行列に関連するもの、スペクトルゼータ関数、オイラー＝ザジエル多重ゼータ関数、バーナーズおよびシンタニの多重ゼータ関数、ウィッテン多重ゼータ関数など——の非単項式多項式が、臨界線の外にも無限に多くの複素零点を持つことを証明している。この結果は、ハイブリッドユニバーサリティおよび解析接続の技法を用いて得られ、臨界線をはるかに超えて広範な非自明な零点を有するゼータ関数のクラスを確立する。

ABSTRACT

In this paper, we show that any polynomial of zeta or $L$-functions with some conditions has infinitely many complex zeros off the critical line. This general result has abundant applications. By using the main result, we prove that the zeta-functions associated to symmetric matrices treated by Ibukiyama and Saito, certain spectral zeta-functions and the Euler-Zagier multiple zeta-functions have infinitely many complex zeros off the critical line. Moreover, we show that the Lindelöf hypothesis for the Riemann zeta-function is equivalent to the Lindelöf hypothesis for zeta-functions mentioned above despite of the existence of the zeros off the critical line. Next we prove that the Barnes multiple zeta-functions associated to rational or transcendental parameters have infinitely many zeros off the critical line. By using this fact, we show that the Shintani multiple zeta-functions have infinitely many complex zeros under some conditions. As corollaries, we show that the Mordell multiple zeta-functions, the Euler-Zagier-Hurwitz type of multiple zeta-functions and the Witten multiple zeta-functions have infinitely many complex zeros off the critical line.

研究の動機と目的

• 非単項式多項式のゼータ関数に対して、臨界線の外に無限に多くの非自明な複素零点が存在する一般基準を確立すること。
• ユニバーサリティの原則を、臨界線の外に零点を持つゼータ関数へと拡張すること、特にハイブリッドユニバーサリティおよび解析接続を用いて。
• 代数的または超越的パラメータ条件の下で、多重ゼータ関数（例：オイラー＝ザジエル型、バーナーズ型、シンタニ型、ウィッテン型）の零点の分布を解明すること。
• リーマンゼータ関数のリンドェルーフ予想と零点の位置の関係を明確にし、臨界線外の零点が存在するにもかかわらず、ゼータ関数のリンドェルーフ予想が同等であることを示すこと。

提案手法

• ハイブリッドユニバーサリティ定理の応用により、ゼータ関数の近似性質と零点分布を結びつける。
• オイラー＝マクローリン、メリン＝バーンズ、および二項定理の技法を用いた、多重ゼータ関数の有理型接続。
• 補助関数の関数等式および非消滅性の性質の解析により、非自明な零点クラスタの存在を保証する。
• オイラー積を持つゼータ関数の強いユニバーサリティおよび一般ディリクレ級数との組み合わせを活用する。
• リー代数に基づくゼータ関数に対して、スペクトル的および表現論的構造と組み合わせたクロネッカーの近似定理の応用。
• 背理法および密度論的議論を用いて、提示された条件下で零点集合が臨界線に限定されえないことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマンゼータ関数の非単項式多項式は、臨界線の外に無限に多くの複素零点を持つのか？
• RQ2 ハイブリッドユニバーサリティ定理を用いて、臨界線の外に零点を持つゼータ関数の零点分布定理を導くことができるか？
• RQ3 有理数または超越的パラメータを持つバーナーズ多重ゼータ関数は、臨界線の外に無限に多くの非自明な零点を持つのか？
• RQ4 モルドー、オイラー＝ザジエル＝フリッツ、およびウィッテン多重ゼータ関数は、特定のパラメータ条件のもとで、臨界線の外に無限に多くの複素零点を持つと保証されるのか？
• RQ5 リーマンゼータ関数のリンドェルーフ予想は、臨界線外に零点を持つ他のゼータ関数に対しても同等であるのか？

主な発見

• 特定の収束性および非消滅条件が満たされれば、リーマンゼータ関数の非単項式多項式は、臨界線の外に無限に多くの複素零点を持つ。
• 伊吹谷と斎藤が研究した対称行列に関連するゼータ関数は、臨界線の外に無限に多くの非自明な零点を持つ。
• パラメータが超越的または代数的に独立である場合、スペクトルゼータ関数およびオイラー＝ザジエル多重ゼータ関数は、臨界線の外に無限に多くの複素零点を持つ。
• 有理数または超越的パラメータを持つバーナーズ多重ゼータ関数は、臨界線の外に無限に多くの零点を持つ。これは、適切な条件下でシンタニ多重ゼータ関数に対しても同様に成り立つ。
• パラメータが所定の代数的独立性または超越性条件を満たす場合、モルドー多重ゼータ関数、オイラー＝ザジエル＝フリッツ型、およびウィッテン多重ゼータ関数は、すべて臨界線の外に無限に多くの複素零点を持つ。
• 臨界線外に零点を持つにもかかわらず、リーマンゼータ関数のリンドェルーフ予想は、本稿で議論されたすべてのゼータ関数について同等である。