[論文レビュー] Anyonic Partial Transpose I: Quantum Information Aspects

Hassan Shapourian, Roger S. K. Mong+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2020

Quantum Information and Cryptography参考文献 3被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、トポロジカル量子場理論における部分転置と編み込み操作の構造的類似性を活用することで、非アーベル的分数統計を示す任意の子系への部分転置および対数的ネガティビティの一般化を提案する。任意の子の対数的ネガティビティを定義し、重要なエンタングルメント測度基準を満たすことを示し、多重性のない任意の子カテゴリでは、その値がゼロとなる集合の測度がゼロであることを証明している。これは、量子ビット系とは対照的であり、そのような状態が有限体積を占めるのとは対照的である。

ABSTRACT

A basic diagnostic of entanglement in mixed quantum states is known as the partial transpose and the corresponding entanglement measure is called the logarithmic negativity. Despite the great success of logarithmic negativity in characterizing bosonic many-body systems, generalizing the partial transpose to fermionic systems remained a technical challenge until recently when a new definition that accounts for the Fermi statistics was put forward. In this paper, we propose a way to generalize the partial transpose to anyons with (non-Abelian) fractional statistics based on the apparent similarity between the partial transpose and the braiding operation. We then define the anyonic version of the logarithmic negativity and show that it satisfies the standard requirements such as monotonicity to be an entanglement measure. In particular, we elucidate the properties of the anyonic logarithmic negativity by computing it for a toy density matrix of a pair of anyons within various categories. We conjecture that the subspace of states with a vanishing logarithmic negativity is a set of measure zero in the entire space of anyonic states, in contrast with the ordinary qubit systems where this subspace occupies a finite volume. We prove this conjecture for multiplicity-free categories.

研究の動機と目的

• 混合状態におけるエンタングルメントを検出するための量子情報分野の標準的ツール（部分転置および対数的ネガティビティ）を、非アーベル的分数統計を示す任意の子系へ一般化すること。
• フェルミオンおよび任意の子系におけるエンタングルメント測度を定義する長年の課題に取り組むこと。これは、それらの系が非自明な交換統計を示すためである。
• 任意の子の対数的ネガティビティを、単調性およびその他の標準的要件を満たす有効なエンタングルメント測度として、厳密な枠組みで確立すること。
• 任意の子系における対数的ネガティビティがゼロとなる状態の構造を調査し、量子ビット系における有限体積の分離状態と対比すること。

提案手法

• トポロジカル量子場理論における部分転置操作と編み込み操作の同型性に基づき、任意の子のための部分転置の新しい定義を提案する。
• ユニタリモジュラーテンソルカテゴリ（例：$su(2)_k$, $su(3)_3$）の任意の子のFおよびR記号を用いて、図式的表現で部分的に転置された密度行列を計算する。
• 部分的に転置された密度行列を、融合チャネルの線形結合として表現し、係数は任意の子データ（FおよびR行列）から導出する。
• 任意の子の対数的ネガティビティを、部分的に転置された密度行列のトレースノルムの対数として定義し、局所的操作下での単調性が保証されるようにする。
• さまざまな任意の子カテゴリにおける2つの任意の子のモデル密度行列にこの形式を適用し、明示的に対数的ネガティビティを計算する。
• 多重性のないカテゴリでは、対数的ネガティビティがゼロとなる状態の集合の測度がゼロであることを、任意の子データの構造およびトレースノルムの正定値性を用いて証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非アーベル的分数統計を示す任意の子に対して、交換統計が非自明であるにもかかわらず、部分転置操作をどのように一般化できるか？
• RQ2 任意の子の対数的ネガティビティは、局所的操作下での単調性といったエンタングルメント測度の標準的公理を満たすか？
• RQ3 任意の子状態のうち、対数的ネガティビティがゼロとなる集合の測度は何か？また、量子ビット系との比較ではどうなるか？
• RQ4 部分転置と編み込みの間の構造的類似性を用いて、任意の子系における一貫性があり計算可能なエンタングルメント測度を定義できるか？
• RQ5 融合多重性は、任意の子の対数的ネガティビティの挙動にどのような役割を果たすか？

主な発見

• 任意の子の対数的ネガティビティは、部分的に転置された密度行列のトレースノルムの対数として定義され、単調性およびエンタングルメント測度としての標準的要件を満たすことが保証される。
• この形式は、トポロジカル量子場理論における部分転置と編み込み操作の同型性を活用することで、任意の子への部分転置の一般化を成功裏に実現している。
• 多重性のない任意の子カテゴリ（例：$su(2)_k$, $su(3)_3$）において、対数的ネガティビティがゼロとなる状態の集合の測度はゼロであり、これは量子ビット系における有限体積の分離状態とは対照的である。
• $su(2)_3$および$su(3)_3$カテゴリにおける明示的計算により、提案された測度の整合性および計算可能性が確認された。
• この手法により、任意の子のFおよびR記号を用いて、部分的に転置された密度行列の閉形式の表現が得られ、任意の子の混合状態におけるエンタングルメントの定量的分析が可能になる。
• 結果から、任意の子系は一般にエンタングルされていると考えられ、対数的ネガティビティがゼロとなる状態は測度的に無視できるほどの少数にとどまると示唆される。