[論文レビュー] Aperiodic order and spherical diffraction

Michael Björklund, Tobias Hartnick+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 29, 2016

Quasicrystal Structures and Properties参考文献 29被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、局所コンpaktoアーベルでない任意のlocally compact second countable (lcsc) 群におけるモデル集合を導入し、メイヤーの枠組みを可換群に限らない範囲へ拡張する。F{ø}lner集合に依存しない新しい回折理論を構築し、非可換群に対しても適用可能となるようにし、球面回折に関する明示的な公式を導出する—これは球面トレース公式の一般化である。主な結果として、基礎となる格子がcocompactであれば、モデル集合は純粋な点状球面回折を示すことが判明した。

ABSTRACT

We introduce model sets in arbitrary locally compact second countable (lcsc) groups, generalizing Meyer's definition of a model set in a locally compact abelian group. We then provide a new formulation of diffraction theory, which unlike the classical formulation does not involve F{\o}lner sets and thus generalizes to point sets in non-amenable lcsc groups. We focus on the case of lcsc groups admitting a Gelfand pair and on the spherical part of the diffraction. Using this approach we obtain explicit formulas for the auto-correlation and diffraction of model sets. Our diffraction formula generalizes the spherical trace formula in a similar way as the abelian diffraction formula generalizes the Poisson summation formula. We deduce that a model set has pure point spherical diffraction provided the underlying lattice is cocompact.

研究の動機と目的

• 局所コンパクトアーベル群に限らない任意のlcsc群におけるモデル集合の一般化を図ること。
• F{ø}lner集合に依存しない回折理論を構築し、非可換群への応用を可能にすること。
• Gelfand対構造を持つ群における回折の球面成分に焦点を当てる。
• この設定において、モデル集合の自己相関および回折の明示的公式を導出すること。
• モデル集合が純粋な点状球面回折を示す条件を確立すること。

提案手法

• 非可換設定に一般化されたカットアンドプロジェクション方式を用いて、任意のlcsc群におけるモデル集合を定義する。
• F{ø}lner集合の必要性を回避するため、Gelfand対上の調和解析に基づく新しい回折形式主義を導入する。
• 球面フーリエ変換を用いて、回折測度の球面成分を分析する。
• Gelfand対構造を活用し、球面変換が適切に定義されかつ取り扱いやすいことを保証する。
• 群論的調和解析を用いて、自己相関および回折測度の明示的表現を導出する。
• 球面トレース公式を適用し、回折を対称空間内の格子点数と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにしてモデル集合を局所コンパクトアーベル群から任意のlcsc群へ一般化できるか？
• RQ2 非可換群における回折を定義するためのF{ø}lner集合の代替案として適切なものは何か？
• RQ3 Gelfand対構造を持つ群におけるモデル集合の球面回折はどのように振る舞うか？
• RQ4 この設定において、自己相関および回折測度の明示的公式を導出できるか？
• RQ5 どのような条件下でモデル集合が純粋な点状球面回折を示すか？

主な発見

• 提案された回折理論は、古典的回折理論がF{ø}lner集合に依存するという制限を克服し、非可換lcsc群に対しても有効である。
• 球面調和解析を用いて、モデル集合の自己相関および回折測度の明示的公式が導出された。
• 回折公式は、アーベルの場合の回折公式がPoisson和公式を一般化するのと同様に、球面トレース公式を一般化する形で一般化された。
• 基礎となる格子がcocompactであれば、モデル集合の球面回折が純粋な点状であることが示された。
• この枠組みはGelfand対構造を持つ群に適用可能であり、回折理論における対称空間調和解析の利用を可能にする。