[論文レビュー] Aperiodic order, integrated density of states and the continuous algebras of John von Neumann

Gábor Elek|ArXiv.org|Jun 26, 2006

Cellular Automata and Applications参考文献 4被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ゴードリのフォン・ノイマンのランク環の一般化を用いて構築された連続代数を活用することで、周期的でない順序を示す作用素—例えば、ランダムシュレーディンガー作用素、透過性ハミルトニアン、自己相似グラフ上のパターン不変作用素—について、一様なスペクトル収束を確立する。主な貢献は、これらの代数における距離の完備性とランク関数の連続性を用いて、スペクトル分布関数が一様に極限の統合状態密度に収束することを証明することにある。

ABSTRACT

Lenz and Stollmann recently proved the existence of the integrated density of states in the sense of uniform convergence of the distributions for certain operators with aperiodic order. The goal of this paper is to establish a relation between aperiodic order, uniform spectral convergence and the continuous algebras invented by John von Neumann. We illustrate the technique by proving the uniform spectral convergence for random Schodinger operators on lattices with finite site probabilities, percolation Hamiltonians and for the pattern-invariant operators of self-similar graphs.

研究の動機と目的

• 周期的でない順序を示す作用素について、統合状態密度の一様スペクトル収束を確立すること。
• ゴードリのフォン・ノイマンのランク環の一般化を通じて、周期的でない順序とスペクトル収束を連続代数に結びつけること。
• ランダムシュレーディンガー作用素、透過性ハミルトニアン、自己相似グラフ上のパターン不変作用素へ、スペクトル収束の枠組みを拡張すること。
• 一様収束の意味で統合状態密度の存在を保証する環論的基盤を提供すること。

提案手法

• ゴードリによる連続正則環の構成—行列代数の帰納的極限と整合的な準同型および重み系を用いる。
• 帰納的極限環上の正規化されたランク関数を定義し、距離的および順序的性質を満たすことで、完備な距離空間構造を可能にする。
• 完成化された環における一様収束下でのスペクトル関数の連続性を適用し、スペクトル分布の一様収束を保証する。
• 自己相似グラフとパターン不変作用素のためのブラッティリ図を構築し、帰納的極限系および関連するランク関数をモデル化する。
• 3つのクラスに適用する：有限サイト確率を有する格子上のランダムシュレーディンガー作用素、アペリオードのグラフ上の透過性ハミルトニアン、自己相似グラフ上の作用素。
• 可換グラフにおけるF {ø}lner列を用いて切断された作用素とその正規化されたスペクトル分布関数を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限サイト確率を有する格子上のランダムシュレーディンガー作用素について、統合状態密度の一様スペクトル収束が成立するか？
• RQ2 アペリオードのグラフ上の透過性ハミルトニアンについて、一様スペクトル収束を確立できるか？
• RQ3 自己相似グラフ上のパターン不変作用素について、一様スペクトル収束が有効か？
• RQ4 ゴードリとフォン・ノイマンの連続代数枠組みを用いて、スペクトル分布の一様収束を証明できるか？
• RQ5 どのグラフ論的条件下で、F {ø}lner列に依存しない一様な統合状態密度が存在するか？

主な発見

• 有限サイト確率を有する格子上のランダムシュレーディンガー作用素について、統合状態密度の一様スペクトル収束が確立された。
• 連続代数枠組みを用いて、アペリオードのグラフ上の透過性ハミルトニアンについても一様スペクトル収束が証明された。
• 自己相似グラフでは、パターン不変作用素のスペクトル分布関数が一様に極限関数に収束し、一様スペクトル収束が確認された。
• 証明は、完成化された連続正則環における一様収束下でのスペクトル関数の連続性に依存しており、これは距離の完備性とランク関数の性質から導かれる。
• 同一の環論的メカニズムを用いて、3つの作用素クラスすべてに枠組みを適用でき、広範な適用可能性が示された。
• 抽象的準結晶グラフに対しても、一様意味での統合状態密度の存在が確認され、従来の弱収束結果が拡張された。