[論文レビュー] Aperiodic Subshifts of Finite Type on Groups

Emmanuel Jeandel|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2015

Cellular Automata and Applications参考文献 19被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、計算可能性理論を用いて、非再帰的に提示されない群が強周期的でない有限型部分符号（SFT）を許容できない計算可能障害を同定することで、有限生成群が強周期的でないSFTを許容するためには、語問題が決定可能でなければならないことを確立している。さらに、$π_1$-自明な群、自由群、トマソンの群$T$と$V$、および$PSL_2(Η)$を含む、新たな群のクラスに対して、$Χ \times G$ 上の一般化されたカリー形式の構成を用いて強周期的でないSFTを構築している。主な貢献は、語問題の補集合の列挙還元可能性に基づいた、周期的でないSFTの存在の計算可能性条件の特徴付けである。

ABSTRACT

In this note we prove the following results: $\bullet$ If a finitely presented group $G$ admits a strongly aperiodic SFT, then $G$ has decidable word problem. More generally, for f.g. groups that are not recursively presented, there exists a computable obstruction for them to admit strongly aperiodic SFTs. $\bullet$ On the positive side, we build strongly aperiodic SFTs on some new classes of groups. We show in particular that some particular monster groups admits strongly aperiodic SFTs for trivial reasons. Then, for a large class of group $G$, we show how to build strongly aperiodic SFTs over $\mathbb{Z} imes G$. In particular, this is true for the free group with 2 generators, Thompson's groups $T$ and $V$, $PSL_2(\mathbb{Z})$ and any f.g. group of rational matrices which is bounded.

研究の動機と目的

• 可算群が強周期的でない有限型部分符号（SFT）を許容できる条件を特徴付けること、特にその計算可能性特性と関連して。
• 列挙還元性を用いて、非再帰的に提示された群がそのようなSFTを許容できない計算可能性理論的障害を確立すること。
• モンスター群や特定の$G$に対する$Χ \times G$を含む、これまで未発表の群クラスに対して、強周期的でないSFTの明示的例を構築すること。
• カリーのタイリング構成を一般化し、$PSL_2(\mathbb{Z})$ やトマソンの群を含む広範な群$G$に対して、$Χ \times G$ 上で周期的でないSFTを生成すること。
• 群の構造、力学的周期的でない性質、および計算可能性の関係を、特に語問題の観点から明確にすること。

提案手法

• 自由群$\mathbb{F}_p$上の有効な閉集合を用いて、禁止された有限パターンを避ける配置を定義し、プロ位相の閉部分集合を形成する。
• 計算可能性理論を適用し、再帰的に提示された群に対して、正規に周期的でない有効な閉部分符号の存在が、語問題の補集合が語問題に列挙還元可能であることを示す。
• 語問題の補集合の列挙還元可能性に基づいて、強周期的でないSFTを許容する群を特徴付けるために、PA’-認識可能性の概念を導入する。
• 群の作用を有理数座標を持つ多面体への分岐アフィン写像に埋め込むことで、カリーの構成を一般化し、極限集合で唯一の恒等写像が点を固定することを保証する。
• 群の$\mathbb{R}^k$上での表現の既約性を用いて、極限集合の点を固定する任意の要素が自明でなければならないことを証明し、周期的でない性質を保証する。
• 有理数多面体$T'$上の有限個の分岐アフィン写像の集合$\mathcal{F}$を構築し、群$G_{\mathcal{F}}$が元の群$G$と同型であり、極限集合$T_{\mathcal{F}}$が一般点の軌道を含むようにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限生成群が強周期的でないSFTを許容できるのはどのような場合か、そしてその際の計算可能性的制約は何か？
• RQ2 群に強周期的でないSFTが存在するかどうかを、語問題の性質、特に列挙還元性によって特徴付けることができるか？
• RQ3 非再帰的に提示された群に対して、強周期的でないSFTを許容できない正確な計算可能性理論的障害は何か？
• RQ4 カリーの構成を一般化して、$\mathbb{Z} \times G$ 上で周期的でないSFTを生成できるような、広範な群$G$のクラスは存在するか？
• RQ5 トマソンの群$T$と$V$、$PSL_2(\mathbb{Z})$、あるいは自由群などの群は、なぜ強周期的でないSFTを許容するのか？

主な発見

• 強周期的でないSFTを許容する有限生成群$G$は、語問題が決定可能でなければならない。これは、語問題の補集合が語問題に列挙還元可能であるためである。
• 再帰的に提示された群に対して、正規に周期的でない有効な閉部分符号の存在は、語問題の補集合が語問題に列挙還元可能であることを示唆する。
• 自由群$\mathbb{F}_2$はPA’-認識可能であり、一般化されたカリー構成を用いて強周期的でないSFTを許容する。
• トマソンの群$V$はPA’-認識可能であり、したがって強周期的でないSFTを許容する。これは、分岐アフィン写像によるカントール集合への連続的群作用を構築することで示される。
• この構成により、$PSL_2(\mathbb{Z})$、トマソンの群$T$と$V$、および有理数行列からなる有界な任意の有限生成群を含む、広範な群$G$に対して、$\mathbb{Z} \times G$ 上で強周期的でないSFTが得られる。
• モンスター群（性質が悪い無限単純群）は、強周期的でないSFTを許容するが、その構成は退化的で自明な性質を持つ。