[論文レビュー] Apolarity for determinants and permanents of generic matrices

Masoumeh Sepideh Shafiei|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2012

Advanced Topics in Algebra参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、一般の行列の行列式、パーマネント、 Pfaffian、Hafnian のアポラールイデアルがすべて次数2で生成されることを確立し、明示的な生成子とグレブナー基底を提供する。ランエスタッドとシュレイヤーの結果を用いて、これらの不変量のカクタスランクおよびランクの下界を導出し、それぞれ $ n \geq 3 $ または $ n \geq 6 $ の場合に、それらが連結和でないことを示している。

ABSTRACT

We show that the apolar ideals to the determinant and permanent of a generic matrix, the Pfaffian of a generic skew symmetric matrix and the Hafnian of a generic symmetric matrix are each generated in degree two. In each case we specify the generators and a Gröbner basis of the apolar ideal. As a consequence, using a result of K. Ranestad and F. O. Schreyer we give lower bounds to the cactus rank and rank of each of these invariants. We compare these bounds with those obtained by J. Landsberg and Z. Teitler.

研究の動機と目的

• 一般の $ n \times n $ 行列の行列式およびパーマネントのアポラールイデアルの生成次数を特定すること。
• この解析を一般の反対称行列のPfaffianおよび一般の対称行列のHafnianに拡張すること。
• これらの不変量のアポラールイデアルの明示的生成子およびグレブナー基底を計算すること。
• ランエスタッド–シュレイヤーの結果を応用して、これらの不変量のカクタスランクおよびランクの下界を導出すること。

提案手法

• マコーレイの逆系（アポラールペアリング）を用いて、同次多項式 $ F \in R = \mathsf{k}[a_{ij}] $ に対して、$ S = \mathsf{k}[d_{ij}] $ 内のアポラールイデアル $ \mathrm{Ann}(F) \subset S $ を定義する。
• $ h \in S_k $ に対して $ h \circ F = 0 $ であることを用い、$ h $ が $ F $ を消滅させるという性質を、既知の双対性恒等式を介して小行列式およびパーマネントに関連付ける。
• $ \mathrm{Ann}(\det A)_k = M_k(A)^\perp $ を証明する。ここで $ M_k(A) $ は $ k \times k $ 小行列式の空間を表す。
• 対角順序において許容されないモノミアルと $ 2 \times 2 $ の部分パーマネントを用いて、アポラールイデアルのグレブナー基底を構成する。
• ブルーチャーのアルゴリズムを適用して、部分パーマネントと許容されないモノミアルの集合がグレブナー基底をなすことを検証する。
• ランエスタッド–シュレイヤーの定理を用いて、アポラールイデアルの生成次数からカクタスランクおよびランクの下界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の $ n \times n $ 行列の行列式およびパーマネントのアポラールイデアルは、次数2で生成されるか？
• RQ2 一般行列の行列式およびパーマネントのアポラールイデアルのグレブナー基底の構造はいかなるものか？
• RQ3 一般の反対称行列のPfaffianおよび一般の対称行列のHafnianに対しても、アポラールイデアルは次数2で生成されるか？
• RQ4 アポラールイデアルの生成次数を用いて、これらの不変量のカクタスランクおよびランクを下から抑えられるか？
• RQ5 これらの不変量は連結和であるか。また、アポラールイデアルの構造はこの性質とどのように関係するか？

主な発見

• 一般の $ n \times n $ 行列の行列式のアポラールイデアルは次数2で生成され、生成子は $ 2 \times 2 $ の部分パーマネントおよび許容されないモノミアルで与えられる。
• 一般の $ n \times n $ 行列のパーマネントのアポラールイデアルも次数2で生成され、同じ生成子集合を有する。
• 一般の反対称行列のPfaffianに対して、アポラールイデアルは次数2で生成され、明示的なグレブナー基底が構成されている。
• 一般の対称行列のHafnianに対して、アポラールイデアルは次数2で生成され、グレブナー基底が提示されている。
• 行列式、パーマネント、Pfaffian、Hafnianのカクタスランクおよびランクは、アポラールイデアルの生成子の次数およびアポラール代数の次元によって下から抑えられる。
• サイズ $ n \geq 3 $ の行列式およびパーマネント、およびサイズ $ n \geq 6 $ のPfaffianおよびHafnianは、アポラールイデアルが次数2で生成されるため、連結和ではない。