[論文レビュー] Appendix: Chapman-Enskog Expansion in the Lattice Boltzmann Method

Jun Li|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 2015

Lattice Boltzmann Simulation Studies参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、チャップマン＝エンスコ拡張を用いて、格子ボルツマン法（LBM）からナビエ＝ストークス方程式を導出し、LBMモデルのパラメータと運動粘性係数の直接的な関係を確立している。主な結果は、ν = (τ − 0.5)Δtc²/3 という解析的公式であり、マッハ数とクヌーゼン数が小さい場合にLBMシミュレーションにおける粘性係数の正確な制御を可能にする。

ABSTRACT

The Chapman-Enskog expansion was used in the lattice Boltzmann method (LBM) to derive a Navier-Stokes-like equation and a formula was obtained to correlate the LBM model parameters to the kinematic viscosity implicitly implemented in LBM simulations. The obtained correlation formula usually works as long as the model parameters are carefully selected to make the Mach number and Knudsen number small although the validity of Chapman-Enskog expansion that has a formal definition of time derivative without tangible mathematical sense is not recognized by many mathematicians.

研究の動機と目的

• チャップマン＝エンスコ拡張を用いて、格子ボルツマン法からナビエ＝ストークスに類似した方程式を形式的に導出すること。
• LBMモデルのパラメータ（τ, Δt, c）と運動粘性係数 ν の閉形式の関係を確立すること。
• チャップマン＝エンスコ拡張が、形式的な数学的定義において明確な意味を持たないにもかかわらず、LBMにおける有効性を検証すること。
• モデルパラメータと物理的粘性係数を結びつけることで、非圧縮性流体の流れの正確なシミュレーションを可能にすること。
• 拡張から得られるひずみ率テンソルの式をLBMにおける大規模渦シミュレーション（LES）に効果的に応用できることを支援すること。

提案手法

• 分布関数 fα を fα = feqα + f(1)α + f(2)α + … と展開することで、格子ボルツマン方程式にチャップマン＝エンスコ拡張を適用する。
• 時間の多重スケール展開 ∂t = ∂t₀ + ∂t₁ + … を導入し、速い（t₀）および遅い（t₁）ダイナミクスを分離する。
• LBMのストリーミングステップをテイラー展開することで、時間微分および空間勾配の項を含む進化方程式を表現する。
• 平衡分布関数から零次方程式を導出し、質量および運動量保存則を回復する。
• 一次方程式を解き、f(1)α を feqα の時間微分および空間勾配の項で表す。
• f(1)α の一次モーメントを計算し、運動量方程式に代入することで、粘性応力項を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 チャップマン＝エンスコ拡張を、格子ボルツマン法からナビエ＝ストークスに類似した方程式を導出するために体系的かつ一貫して適用する方法は何か？
• RQ2 LBMの緩和時間 τ と運動粘性係数 ν の明示的な解析的関係は何か？
• RQ3 マッハ数およびクヌーゼン数が小さい条件下で、LBMにおけるチャップマン＝エンスコ拡張はどのような条件下で有効であるか？
• RQ4 導出された粘性係数の公式 ν = (τ − 0.5)Δtc²/3 は、非圧縮性流れにおける物理的粘性係数とどのように関係するか？
• RQ5 拡張から得られたひずみ率テンソルの式は、LBMにおける大規模渦シミュレーション（LES）に効果的に応用可能か？

主な発見

• 多重スケール漸近解析の下で、チャップマン＝エンスコ拡張は、格子ボルツマン方程式からナビエ＝ストークスに類似した方程式を成功裏に回復する。
• 導出された運動粘性係数は ν = (τ − 0.5)Δtc²/3 で与えられ、モデルパラメータと物理的粘性係数を直接結びつける。
• マッハ数およびクヌーゼン数が小さい場合に拡張が有効であり、漸近展開が一貫性を保つ。
• ひずみ率テンソルは ∑α eα,i eα,j f(1)α = −τΔt[c²ρ/3(∂ui/∂xj + ∂uj/∂xi) − ∂(ρuiujuk)/∂xk] として導出され、LESへの応用を可能にする。
• 密度の変動および非線形項が無視可能な場合、拡張から得られる運動量方程式は、標準的な非圧縮性ナビエ＝ストークス形式と一致する。
• 平衡分布関数の性質 ∑α fα = ρ および ∑α eα,i fα = ρui により、質量および運動量保存が保証される。