[論文レビュー] Appendix: On linear subspaces contained in the secant varieties of a projective curve

Claire Voisin|arXiv (Cornell University)|Oct 23, 2001

Tensor decomposition and applications被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、滑らかな射影的曲線 $C \subset \mathbb{P}^N$ が $|L \otimes \omega_C|$ により埋め込まれた場合の、その二重積分曲面に含まれる線型部分空間を調査し、$\deg L \geq 2d+3$ のとき、$d$-番目の二重積分曲面 $\Sigma_d$ に $\delta \geq d$ を満たす任意の $\mathbb{P}^\delta$ が存在せず、また $\delta \geq d-1$ を満たす任意の $\mathbb{P}^\delta$ は $C^{(d)}$ 内の $Z$ に対する線型包 $\langle Z \rangle$ の一つに他ならないことを証明する。この結果は、期待される線型包を超える二重積分曲面の最大性に関する幾何学的問題を解決する。

ABSTRACT

We show that the d-th secant variety of a projective curve of genus g imbedded in projective space by a complete linear system of degree 2g-2+m, with m at least 2d+3, does not contain linear spaces of dimension bigger than d-1, and that the only linear subspaces of dimension d-1 contained in it are the obvious ones.

研究の動機と目的

• 曲線 $C \subset \mathbb{P}^N$ の $d$-番目の二重積分曲面 $\Sigma_d$ が、$C^{(d)}$ 内の任意の $Z$ に対する $\langle Z \rangle$ に含まれない線型部分空間 $\mathbb{P}^\delta$ を含むかどうかを特定すること。
• C. Soulé が提起した、$\Sigma_d$ 内の線型部分空間の最大次元に関する問題に答えること。
• 二重積分曲面 $\Sigma_d$ が予想されるもの以外の線型部分空間を含まないための、線分束 $L$ の次数に関する鋭い条件を確立すること。
• 解析的評価ではなく、変形理論とコhomology推定に基づく幾何的議論を提供すること。

提案手法

• $\Sigma_d$ の像を与える写像 $\alpha: \mathbb{P}(E^*) \to \mathbb{P}^N$ を用い、ここで $E$ は $C^{(d)}$ 内の除数に制限された $L \otimes \omega_C$ の切断のベクトル束である。
• 滑らかな点における $\Sigma_d$ の射影的接空間を分析し、$Z \in C^{(d)}$ に対して $\langle 2Z \rangle$ に同型であることを示す。
• 任意の $\mathbb{P}^\delta \subset \Sigma_d$ が、すべての $\langle Z \rangle$ に含まれないものがあると仮定し、それを $C^{(d)}$ の次元 $w > 0$ の部分多様体 $W \subset C^{(d)}$ に支配的に写像する、$\mathbb{P}(E^*)$ 内の多様体 $\widetilde{\mathbb{P}}^\delta$ に引き上げる。
• 写像 $\alpha$ の微分を用いて、線型包 $\langle 2Z_v \rangle$ の無限小変動を研究し、変形写像を $\mathcal{O}_C(Z_v)_{|Z_v}$ の切断による乗法写像と特定する。
• Hopfの補題を乗法写像 $\widetilde{\mu}: \widetilde{V} \otimes H^0(C, L \otimes \omega_C(-2Z_v)) \to H^0(C, L \otimes \omega_C(-Z_v))$ に適用し、ランクの不等式を導出する。
• 次数条件 $\deg L \geq 2d+3$ の下で、ランク推定と不等式 $w > \delta - w$ を組み合わせることで矛盾を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線分束 $L$ にどのような条件下で、曲線 $C \subset \mathbb{P}^N$ の $d$-番目の二重積分曲面 $\Sigma_d$ が $\delta \geq d$ を満たす線型部分空間 $\mathbb{P}^\delta$ を含まないか？
• RQ2 $\delta \geq d-1$ を満たす線型部分空間 $\mathbb{P}^\delta \subset \Sigma_d$ が、$C^{(d)}$ 内の $Z$ に対する $\langle Z \rangle$ の外に存在しうるか？
• RQ3 線分束 $L$ の次数は、$\Sigma_d$ 内のこのような余分な線型部分空間の存在を制御するために果たす役割は何か？
• RQ4 線型包 $\langle 2Z \rangle$ の無限小変動は、$\mathbb{P}^\delta \subset \Sigma_d$ の存在をどのように制約するか？

主な発見

• $\deg L \geq 2d+3$ かつ $\delta \geq d-1$ のとき、任意の $\mathbb{P}^\delta \subset \Sigma_d$ は $C^{(d)}$ 内の $Z$ に対する線型包 $\langle Z \rangle$ の一つに他ならない。つまり、余分な線型部分空間は存在しない。
• $\deg L \geq 2d+3$ の下で、$d$-番目の二重積分曲面 $\Sigma_d$ は $\delta \geq d$ を満たす任意の $\mathbb{P}^\delta$ を含まない。
• 矛盾は、Hopfの補題による乗法写像 $\widetilde{\mu}$ のランク推定と、$W$ の一般点におけるファイバーの分離性から導かれる幾何的不等式 $w > \delta - w$ を組み合わせることで生じる。
• 証明は、$\deg L \geq 2d+3$ のとき $H^1(C, L \otimes \omega_C(-2Z_v)) = 0$ であることに依存しており、これにより $Z_v$ の線型包の次元が $d-1$ であることが保証される。
• この結果は、$g > 0$ の曲線に対して成り立ち、$L \otimes \omega_C(-2Z_v)$ の非常に正則性を用いて、Hopfの補題における厳密な不等式を保証する。
• 結論は鋭い：$\deg L < 2d+3$ のとき、コhomologyの消滅が失敗するため、このような余分な線型部分空間が存在しうる。