[論文レビュー] Applicability of Boussinesq approximation in a turbulent fluid with constant properties

P.-E. Roche|ArXiv.org|Oct 18, 2007

Fluid Dynamics and Turbulent Flows参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、定常流体性を持つ乱流レイノルズ＝バーナード対流におけるブーシネスク近似の妥当性を評価するための4つの定量的基準を導出する。通常の実験室実験（空気および水を用いたもの）では、αΔ ≪ 1 が最も厳しい基準であることが示され、超高温レイノルズ数（Ra > 10¹⁶）では密度層状態に起因する基準が重要になるが、特に液体ヘリウムにおいて顕著になる。しかしこれらの基準は、高レイノルズ数実験間での熱伝達測定値の乖離を説明するものではない。

ABSTRACT

The equations of motion describing buoyant fluids are often simplified using a set of approximations proposed by J. Boussinesq one century ago. To resume, they consist in assuming constant fluid properties, incompressibility and conservation of calories during heat transport. Assuming fulfilment of the first requirement (constant fluid properties), we derive a set of 4 criteria for assessing the validity of the two other requirements in turbulent Rayleigh-Bénard convection. The first criterion $αΔ\ll 1 $ simply results from the incompressibility condition in the thermal boundary layer ($α$ and $Δ$ are the thermal expansion coefficient and the temperature difference driving the flow). The 3 other criteria are proportional or quadratic with the density stratification or, equivalently with the temperature difference resulting from the adiabatic gradient across the cell $Δ_{h}$. Numerical evaluations with air, water and cryogenic helium show that most laboratory experiments are free from such Boussinesq violation as long as the first criterion is fulfilled. In ultra high Rayleigh numbers ($Ra>10^{16}$) experiments in He, one of the stratification criteria, scaling with $αΔ_{h}$, could be violated. This criterion garanties that pressure fluctuations have a negligible influence both on the density variation and on the heat transfer equation through compression/expansion cycles. Extrapolation to higher $Ra$ suggests that strong violation of Boussinesq approximation could occur in atmospheric convection.

研究の動機と目的

• 定常流体性を持つ乱流レイノルズ＝バーナード対流におけるブーシネスク近似の適用可能性を定量的に評価する。
• ブーシネスク近似からの逸脱が、高レイノルズ数実験間での熱伝達測定値の乖離を説明できるかどうかを評価する。
• 異なる流体およびレイノルズ数において、非圧縮性と密度層状態の効果がブーシネスク近似の妥当性に与える相対的影響を評価する。
• 極端な乱流条件下でも「カロリー保存則」と非圧縮性近似が有効であるかどうかを検証する。
• より正確なシミュレーションを可能にするために、αΔ および αΔh に比例する小さな非ブーシネスク項を含む、ブーシネスクモデルの拡張フレームワークを提供する。

提案手法

• スケーリングの議論と実験データを用いて、正確な運動方程式で無視された項の大きさと支配的項との比較により、4つの基準を導出する。
• レイノルズ＝バーナード文献で一般的に用いられるスケールを用いて乱流対流をモデル化し、実験的ヌセルト数データへのフィットを実施する。
• 熱力学的関係を用いて、基準を密度層状態または断熱的温度勾配の観点から表現し、物理的解釈を可能にする。
• 空気、水、液体ヘリウムについて、レイノルズ数（最大10¹⁶まで）の範囲で数値的に基準を評価する。
• 予測されたブーシネスク近似の妥当性と実験的ヌセルト数の傾向を比較し、非ブーシネスク効果が観察された乖離を説明できるかどうかを検証する。
• 将来のDNSシミュレーションにおいて、αΔ および αΔh 項を含む一般化された方程式を用いて基準における「≪」の閾値を定量化することを提案する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定常流体性を持つ乱流レイノルズ＝バーナード対流において、ブーシネスク近似が有効であるための定量的条件は何か？
• RQ2 非圧縮性と密度層状態の効果が、特に高レイノルズ数条件下でブーシネスク近似の妥当性にどのように影響を与えるか？
• RQ3 ブーシネスク近似からの逸脱が、ヘリウムにおける高レイノルズ数実験間で観察された熱伝達測定値の乖離を説明できるか？
• RQ4 通常の実験室実験（空気および水を用いたもの）において、導出された4つの基準の中で最も厳しいのはどれか？
• RQ5 どのレイノルズ数で、αΔh に比例する密度層状態関連基準が、非圧縮性基準（αΔ ≪ 1）を上回る厳しさになるか？

主な発見

• 非圧縮性を反映する基準 αΔ ≪ 1 は、空気および水を用いた通常の実験室実験において、最も厳しい基準であり、普遍的に適用可能である。
• レイノルズ数が10¹⁶を超える液体ヘリウムにおいては、αΔh に比例する基準が潜在的に重要となり、圧力揺動に起因する圧縮効果によりブーシネスク近似が破綻する可能性を示唆する。
• 3つの密度層状態関連基準は密度層状態と間接的に関連しており、エネルギー方程式における圧力誘発密度揺動および熱源項の条件に相当する。
• 高レイノルズ数ヘリウム実験（10¹² < Ra < 10¹⁴）においてヌセルト数の傾向に明らかな乖離が見られるにもかかわらず、非ブーシネスク効果はその差を説明できない。
• 4番目の基準（密度層状態に比例して2次的に増加）は、数値的評価において常に他の3つよりも緩いため、大多数の実験的条件下では重要性が低い。
• 本研究では、αΔ や αΔh に比例する小さな非ブーシネスク項を含む一般化モデルの導入により、特に地球物理学的および極端な条件の流れにおいて、より高い精度のシミュレーションが可能になる可能性を示唆している。