[論文レビュー] Application of Bogolyubov's approach to the derivation of kinetic equations for dissipative systems

I. Goldhirsch, A. S. Peletminskii+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2013

Statistical Mechanics and Entropy被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、ボゴリューボフの関数的仮説および相関の弱体化原理を拡張し、古典的散乱系に対する運動方程式を導出する。特に、一定の法線復元係数を有する希薄で一様な粒状ガスに対して、非弾性ボルツマン方程式を再現することで、この手法が散乱系への適用可能性を検証する。ハミルトニアン枠組み内に散乱関数を導入し、BBGKY階層を適用することで、摂動的解析により、散乱系に対する有効性が裏付けられる。

ABSTRACT

The main goal of the present article is to extend the Bogolyubov method for deriving kinetic equations to dissipative many-body systems. The basic conjecture underlying the Bogolyubov approach is the functional hypothesis, according to which, the many-particle distribution functions are assumed to be functionals of the one-particle distribution function on kinetic time scales. Another ingredient in the Bogolyubov approach is the principle of the spatial weakening of correlations, which reflects statistical independence of physical values at distant spatial points. One can consider it as a reasonable mixing property of many-particle distribution functions. The motivation behind the generalization of Bogolyubov's approach to (classical) many-body dissipative systems is the wish to describe the dynamics of granular systems, in particular granular fluids. To this end we first define a general dissipative fluid through a dissipation function, thereby generalizing the commonly employed models for granular fluids. Using the Bogolyubov functional hypothesis we show how a reduction of the pertinent BBGKY hierarchy can be achieved. The method is then employed to cases which can be treated perturbatively, such as those in which the interactions are weak or the dissipation is small or the particle density is small. Kinetic descriptions are obtained in all of these limiting cases. As a test case, we show that the Bogolyubov method begets the now standard inelastic Boltzmann equation for dilute monodisperse collections of spheres whose collisions are characterized by a fixed coefficient of normal restitution. Possible further applications and implications are discussed.

研究の動機と目的

• ボゴリューボフの手法—関数的仮説および空間的相関の弱体化に基づく—を、特に粒状流体を含む古典的散乱系多粒子系に一般化すること。
• ハミルトニアン形式における散乱関数を用いて、擬似リウヴィル方程式の制限を克服する散乱系のためのBBGKY階層を構築すること。
• 希薄で一様な粒状流体に固定された法線復元係数を有する標準的な非弾性ボルツマン方程式が回復されることを示し、この手法の妥当性を検証すること。
• 従来の手法が失敗する強い勾配領域、密度の高い粒状系、および二成分混合系における研究への可能性を検討すること。

提案手法

• 古典的散乱系のハミルトニアン力学を一般化するための散乱関数を導入し、BBGKY階層の一貫した導出を可能にする。
• ボゴリューボフの関数的仮説を適用し、運動論的時間スケールにおいて多粒子分布関数が1粒子分布関数の汎関数であると仮定する。
• 空間的相関の弱体化の原理を適用し、遠く離れた空間的点における統計的独立性を混合性としてモデル化する。
• 弱い相互作用、小さな散乱、または希薄な密度の下で摂動展開を用い、BBGKY階層を閉じた運動方程式に簡略化する。
• 2粒子系の漸近的運動量および座標から衝突積分を導出し、非弾性衝突におけるヤコビアン変換を含める。
• 固定された法線復元係数の下で、導出された衝突積分が標準的な非弾性ボルツマン衝突積分と一致することを示し、一貫性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ボゴリューボフの手法を、特に粒状ガスを含む散乱系多粒子系の運動方程式導出に拡張可能か？
• RQ2 古典的系における非弾性衝突を記述するため、ハミルトニアン形式に散乱関数を統合する方法は何か？
• RQ3 関数的仮説および相関の弱体化原理は散乱系に対しても有効であり、一貫した運動方程式を導けるか？
• RQ4 導出された運動方程式は、固定された法線復元係数を有する希薄な粒状ガスに対して、既知の非弾性ボルツマン方程式を再現できるか？
• RQ5 この手法は、従来の運動論的理論が失敗する密度の高い粒状系や二成分混合系の研究にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 固定された法線復元係数を有する希薄で一様な粒状ガスに対して、この手法は非弾性ボルツマン方程式を正確に再現した。
• 非弾性衝突におけるヤコビアン変換を含む漸近的力学から導出された衝突積分は、標準的な非弾性ボルツマン衝突積分と完全に一致した。
• 関数的仮説および空間的相関の弱体化原理は、散乱系に対しても妥当な仮定であることが検証され、BBGKY階層の簡略化に有効であることが示された。
• この手法は弱い相互作用、小さな散乱、または低密度の摂動的状態に適用可能であり、一貫した運動論的記述を提供する。
• この形式は、強い勾配や多数体的接触を有する粒状系の研究に新たな枠組みを提供する。
• この手法は、単純な適用が失敗する密度の高いまたは複雑な粒状混合系に対して、エンスコグ＝ボルツマン方程式の代替案を提供する可能性を有する。