[論文レビュー] Application of Fractional Calculus to Reaction-Subdiffusion Processes and Morphogen Gradient Formation

S. B. Yuste, E. Abad+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2010

Field-Flow Fractionation Techniques被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、反応-サブディフュージョン過程の形態形成グレーディエント形成を記述するために分数階微積分を適用し、記憶効果と空間的に変化する分解を考慮したCTRWに基づく分数階反応-サブディフュージョン方程式を導出する。定常形態形成グレーディエントは、反応性の空間的依存性および非拡散指数γに強く敏感であり、非一様な反応性は、γと分解パラメータに応じて、指数関数的減衰、一定、あるいは無限に発散する形のグレーディエントをもたらす。

ABSTRACT

It is a well known fact that subdiffusion equations in terms of fractional derivatives can be obtained from Continuous Time Random Walk (CTRW) models with long-tailed waiting time distributions. Over the last years various authors have shown that extensions of such CTRW models incorporating reactive processes to the mesoscopic transport equations may lead to non-intuitive reaction-subdiffusion equations. In particular, one such equation has been recently derived for a subdiffusive random walker subject to a linear (first-order) death process. We take this equation as a starting point to study the developmental biology key problem of morphogen gradient formation, both for the uniform case where the morphogen degradation rate coefficient (reactivity) is constant and for the non-uniform case (position-dependent reactivity). In the uniform case we obtain exponentially decreasing stationary concentration profiles and we study their robustness with respect to perturbations in the incoming morphogen flux. In the non-uniform case we find a rich phenomenology at the level of the stationary profiles. We conclude that the analytic form of the long-time morphogen concentration profiles is very sensitive to the spatial dependence of the reactivity and the specific value of the anomalous diffusion coefficient.

研究の動機と目的

• サブディフュージョン輸送と反応（分解）を組み合わせた形で形態形成グレーディエント形成を分数階微積分を用いてモデル化すること。
• 長めの待ち時間分布を持つ連続時間ランダムウォーク（CTRW）を用いて、記憶効果を含む古典的反応拡散モデルを拡張すること。
• 非拡散と空間的に依存する分解が、定常形態形成グレーディエント濃度プロファイルの形状と頑健性に与える影響を調査すること。
• 物理的に整合性のある分数階反応-サブディフュージョン方程式を導出し、負の濃度のような非物理的結果を避けること。
• これらのプロファイルが発生学的生物学に与える含意、特に摂動に対する頑健性とグレーディエントの形状に関する考察。

提案手法

• Riemann-Liouville分数階微分を用いて、死滅過程を含むCTRWモデルから分数階反応-サブディフュージョン方程式を導出する。
• CTRW形式を用いて非マルコフ的待ち時間分布を組み込み、γ < 1 におけるサブディフュージョンを実現する。
• ラプラス変換技術を用いて、一様および非一様反応性の両ケースにおける分数階偏微分方程式を解く。
• 定常解を、定数、区分的定数、指数関数的減衰、べき乗則的減衰といった、反応性k(x)のさまざまな空間的形態について分析する。
• 解析的解が得られない場合の過渡的プロファイルを調査するために、ラプラス変換の数値的逆変換を実施する。
• 分数階時間微分と指数的記憶カーネルを含む導出式を用いて、時間および空間に依存する反応性k(x,t)へのモデルの一般化を図る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分数階微分によるサブディフュージョンは、古典的拡散と比較して、形態形成グレーディエントの形状にどのように影響を与えるか？
• RQ2 空間的に変化する分解（反応性）は、サブディフュージョン輸送における定常濃度プロファイルにどのような影響を及ぼすか？
• RQ3 非拡散指数γは、さまざまな反応性関数下での形態形成グレーディエントの長期的挙動にどのように影響を与えるか？
• RQ4 本モデルは、サブディフュージョン領域において非単調的または発散的プロファイルを予測できるか？ そして、このような挙動が生じる条件は何か？
• RQ5 形態形成グレーディエントのフラックス摂動に対する頑健性は、サブディフュージョンパラメータγおよび分解レートkにどのように依存するか？

主な発見

• 一様反応性の場合、定常形態形成グレーディエントは指数関数的に減衰し、分解レートkが大きいほどフラックス摂動に対する頑健性が向上する。
• k₁ = 0 の領域を有する区分的定数反応性の場合、不連続な濃度プロファイルが出現し、定常状態に到達しない。これは通常の拡散では観察されない新規な効果である。
• 指数関数的減衰反応性の場合、γ = 1 では無限大で定数に近づくが、γ < 1 では無限に発散する。
• べき乗則的減衰反応性の場合、大xにおける定常プロファイルの振る舞いは、減衰指数とγの相互作用に依存し、減衰、一定、または発散するプロファイルが生じ得る。
• 定常プロファイルの解析的形は、k(x)の関数的形および非拡散係数γの値に強く敏感であり、強い非ユニバーサル性を示す。
• 導出された分数階反応-サブディフュージョン方程式は古典的モデルを一般化し、記憶効果を適切に扱い、負の濃度のような非物理的解を回避する。