[論文レビュー] Application of Fractional Fourier Transform in Cepstrum Analysis

Khalid H. Miah, Roberto Henry Herrera+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2012

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、分数階フーリエ変換（FRFT）とケプストラム解析を統合することで、地震波信号処理における波源ウェーブレット推定を向上させる、新規手法である分数階ケプストラム（FC）を提案する。FRFTの多次元表現を活用することで、さまざまな分数階数において、時間周波数局在性とウェーブレット特徴の両方を向上させることができ、従来のケプストラム手法に比べて地震波ウェーブレットのモデル化性能が優れていることを示している。

ABSTRACT

Source wavelet estimation is the key in seismic signal processing for resolving subsurface structural properties. Homomorphic deconvolution using cepstrum analysis has been an effective method for wavelet estimation for decades. In general, the inverse of the Fourier transform of the logarithm of a signal's Fourier transform is the cepstral domain representation of that signal. The convolution operation of two signals in the time domain becomes an addition in the cepstral domain. The fractional Fourier transform (FRFT) is the generalization of the standard Fourier transform (FT). In an FRFT, the transformation kernel is a set of linear chirps whereas the kernel is composed of complex sinusoids for the FT. Depending on the fractional order, signals can be represented in multiple domains. This gives FRFT an extra degree of freedom in signal analysis over the standard FT. In this paper, we have taken advantage of the multidomain nature of the FRFT and applied it to cepstral analysis. We term this combination the Fractional-Cepstrum (FC). We derive the real FC formulation, and give an example using wavelets to show the multidomain representation of the traditional cepstrum with different fractional orders of the FRFT.

研究の動機と目的

• 従来のケプストラム解析を拡張することで、地震波信号処理における波源ウェーブレット推定を改善すること。
• 標準的なフーリエベースのケプストラムが、地震信号の時間周波数特性を解像できないという限界を是正すること。
• 分数階フーリエ変換（FRFT）の多次元表現能力を活用し、信号分解を向上させること。
• 実数値形式の分数階ケプストラム（FC）を導出し、地球物理学的信号解析への実用的応用を可能とすること。
• FRFTのさまざまな分数階数において、FCが地震波ウェーブレットのモデル化に有効であることを示すこと。

提案手法

• 本稿では、信号のフーリエ変換の対数に分数階フーリエ変換（FRFT）を適用することで、分数階ケプストラム（FC）を定式化し、標準ケプストラム領域表現の一般化を実現する。
• FRFTカーネルは線形チープ（chirp）関数を用いて定義され、分数階数αでインデックス付けされた複数のドメインにおける信号表現を可能にする。
• 本手法は、時間領域における畳み込み演算をFCドメインにおける加法的演算に変換し、ケプストラム解析の同型性を保持する。
• 地震応用における計算可能性と物理的解釈可能性を確保するため、FCの実数値形式を導出する。
• 合成ウェーブレットを用いた検証により、異なる分数階数が多次元フレームワーク内で異なる表現をもたらすことが示された。
• FCは地震信号に適用され、従来のケプストラムに比べて、時間周波数分解能が向上した波源ウェーブレット推定が可能となった。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分数階フーリエ変換は、地震波信号処理におけるケプストラム表現の時間周波数局在性を向上させ得るか？
• RQ2 FRFTの多次元表現は、標準的なフーリエベースケプストラムに比べて、ウェーブレット推定をどのように改善するか？
• RQ3 分数階数αを変化させることで、ケプストラムドメインの構造と解釈可能性にどのような影響が生じるか？
• RQ4 実数値の分数階ケプストラム形式は、効果的に導出され、地震データに応用可能か？
• RQ5 FC手法は、複雑な地震ウェーブレットを解像する点で、従来のケプストラムを上回る性能を示すか？

主な発見

• 分数階ケプストラム（FC）は、FRFTを用いてケプストラム解析を複数のドメインへ拡張し、さまざまな分数階数において信号表現を向上させた。
• FRFTの多次元性により、特に非定常な地震信号に適した、時間周波数局在性の向上が達成された。
• 実数値のFC形式が導出され、実用的な地震信号解析に有効であることが示された。
• 具体的な結果から、FRFTの異なる分数階数が、標準ケプストラムでは見えない隠れた信号構造を明らかにする異なるケプストラム表現をもたらすことが分かった。
• 従来のケプストラムに比べ、FC手法は、地震処理における波源ウェーブレット推定のためのより柔軟で情報量の多いフレームワークを提供した。