[論文レビュー] Application of Jordan Decomposition to Non-Hermitian Lattice Models with Spectrally-Isolated Lower Dimensional States

Yang Yu, Minwoo Jung+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2020

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 35被引用数 28

ひとこと要約

本稿では、スペクトル的に分離された状態を有する非エルミート格子模型の解析のため、Jordan分解フレームワークを導入し、不安定な固有値分解に代わって左固有状態および右固有状態を正確に特定する手法を提示する。この手法を非エルミート四極子絶縁体に適用したところ、ゼロエネルギーのコーナー状態が励起位置に応じて非局在的かつ直感に反する共鳴応答を示すことが判明し、スペクトル的および応答的性質に基づいて、自明、近似エルミート、非局在的の三つの領域に分類されることが明らかになった。

ABSTRACT

When analyzing non-Hermitian lattice systems, the standard eigenmode decomposition utilized for the analysis of Hermitian systems must be replaced by Jordan decomposition. This approach enables us to identify the correct number of the left and right eigenstates of a large finite-sized lattice system, and to form a complete basis for calculating the resonant excitation of the system. Specifically, we derive the procedure for applying Jordan decomposition to a system with spectrally-isolated states. We use a non-Hermitian quadrupole insulator with zero-energy corner states as an example of a large system whose dimensionality can be drastically reduced to derive a low-dimensional "defective" Hamiltonian describing such localized states. Counter-intuitive and non-local properties of the resonant response of the system near zero energy are explained using the Jordan decomposition approach. Depending on the excitation properties of the corner states, we classify our non-Hermitian quadrupolar insulator into three categories: trivial, near-Hermitian, and non-local.

研究の動機と目的

• 非エルミート系、特にスペクトル的に分離された状態を有する大規模有限サイズ格子系において、標準的固有値分解の不安定性および不完全性に対処すること。
• Jordan分解を用いて完全な左および右固有状態基底を特定する安定な手法を開発し、共鳴励起応答の正確な計算を可能にすること。
• ゼロエネルギーのコーナー状態の局在性および励起特性に基づき、非エルミート四極子絶縁体を自明、近似エルミート、非局在的の三つの領域に分類すること。

提案手法

• 孤立固有値をグループ化し、不変部分空間を抽出するためにSchur分解を用い、ハミルトニアンのブロック対角化を可能にする。
• 孤立ブロックに対してJordan分解を適用し、H = PJP⁻¹の形の退化したハミルトニアン形式を得る。ここでJは対角成分が固有値である上三角行列である。
• HおよびHᵀのSchur分解から左および右のJordan基底ベクトル（一般化固有ベクトル）を特定し、系のダイナミクスの完全基底を構築する。
• Jordan分解を用いて再定式化したリゾルベント (E − H + iΓ)⁻¹ を用いて駆動方程式を解き、共鳴応答の正確な計算を可能にする。
• 非対称な細胞内 hopping および実数の細胞間 hopping を有する非エルミート四極子絶縁体モデルにこの手法を適用し、サブラットスシンメトリーを維持する。
• 近似的固有状態を解析的および数値的に検証し、開境界条件下での指数的局在性およびスペクトル安定性を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スペクトル的に分離された状態を有する非エルミート格子系の解析において、標準的固有値分解をより安定的かつ完全な手法に置き換える方法は何か？
• RQ2 非エルミートコーナー状態の共鳴応答が、励起位置に応じて非局在的かつ直感に反する挙動を示す理由は何か？
• RQ3 非エルミート四極子絶縁体が自明、近似エルミート、非局在的の三つの領域に分類される要因は何か？
• RQ4 有限のバルクバンドギャップおよび実数スペクトルが、ゼロエネルギーのコーナー状態の局在性および励起特性に与える影響は何か？
• RQ5 固有値分解が数値的不安定性により失敗する系において、Jordan分解は共鳴励起のダイナミクスを正確に記述できるか？

主な発見

• Jordan分解法により、非エルミート系において完全な左および右固有状態基底が正確に特定され、固有値分解に内在する「次元の欠落」問題が解決された。
• 近似エルミート領域（|λ| > |t| + |γ|）では、四つのスペクトル的に分離されたゼロエネルギーのコーナー状態が存在し、それぞれが別々のコーナーに局在しており、左および右固有ベクトルも同じコーナーに局在している。
• 中間領域（|t² − γ²|¹ᐟ² < |λ| < |t| + |γ|）では、代数的重複度が四つであるにもかかわらず、線形独立なコーナー状態は二つしか存在せず、幾何的 degeneracy が生じていることが示された。
• 左上コーナーに励起を与えると、右下コーナー状態に弱い応答が現れ、中間領域において非局在的かつ直感に反する共鳴挙動が確認された。
• 系の分類（自明、近似エルミート、非局在的）は、左および右のJordan基底ベクトルの相対的局在性および励起応答パターンに依存する。
• 解析的検証により、コーナー状態の波動関数がハミルトニアンの近似的固有状態であることが確認され、熱力学的極限における系の境界での指数的減衰が示された。