[論文レビュー] Application of Quantum Stochastic Calculus to Feedback Control

Andreas Boukas|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2013

Quantum Mechanics and Applications参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、量子確率的微分方程式のための2次最適制御問題を解くために、量子確率的微分積分学—特にHudson-Parthasarathyおよび白色雑音の平方の枠組み—を適用する。時間一様な条件下では、演算子代数的リカチ方程式に簡略化される量子確率的リカチ方程式を導出しており、量子ノイズによって駆動される量子系の明示的フィードバック制御則の実現を可能にする。

ABSTRACT

The basic aspects of the Hudson-Parthasarathy quantum stochastic calculus and of the Accardi-Fagnola-Quaegebeur representation free stochastic calculus are presented. The basic features of the stochastic calculus for the square of white noise recently developed by Accardi-Boukas are described. The feedback control problem for stochastic processes driven by quantum noise is solved

研究の動機と目的

• 古典的な2次制御理論を量子確率的系、特に量子ノイズによって駆動される系に拡張すること。
• 定数係数を有する量子ランジュヴィアン方程式の最適制御問題を、2次コスト関数 functional を用いて定式化すること。
• 量子系における最適フィードバック制御則を支配する量子確率的リカチ方程式を導出すること。
• 演算子代数的リカチ方程式が、所定の物理的および数学的性質（正定値性、有界性など）を満たす解を有するための条件を確立すること。
• 抽象的な量子制御枠組みと物理的実現可能性を、確率的極限技法を用いて結びつけ、本物のハミルトニアン相互作用を導出すること。

提案手法

• 1次の量子白色雑音にはHudson-Parthasarathy量子確率的微分積分学を、高次ノイズにはAccardi-Boukasの白色雑音の平方の微分積分学を適用する。
• Accardi-Fagnola-Quaegebeurの表現自由な量子確率的微分積分学を用いて、一般の量子確率的発展を扱う。
• 古典的制御理論と類似するハミルトン・ジャコビ・ベルマン法を用いて、量子確率的リカチ方程式を導出する。
• 時間反転技法を用いてリカチ方程式を解き、解の一意性を2つの候補解の比較により証明する。
• 確率的極限法を用いて、抽象的な最適ランジュヴィアン方程式を物理的ハミルトニアン相互作用にマッピングする。
• 伊藤積分とレヴィ型テーブルを用いてマルティンゲール増分を扱い、リカチ演算子の動的性質を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的な2次制御フレームワークを、量子ノイズによって駆動される量子確率的系に一般化するにはどうすればよいか？
• RQ2 量子系における最適フィードバック制御を支配する量子確率的リカチ方程式の形は何か？
• RQ3 演算子代数的リカチ方程式が、所定の正定値性および有界性を満たす解を有するための条件は何か？
• RQ4 最適量子ランジュヴィアン方程式は、真のハミルトニアン相互作用として物理的に実現可能か？
• RQ5 確率的極限技法は、抽象的な量子制御解を具体的な物理モデルにどのように結びつけるか？

主な発見

• 量子確率的系における最適制御則は、量子確率的リカチ方程式の解に基づくフィードバック則として導出された。
• 時間一様な係数の下では、量子確率的リカチ方程式は古典的ケースに類似した演算子代数的リカチ方程式に簡略化される。
• 2つの候補解の比較により、リカチ方程式の解が一意であることが証明された（差が恒等的に0に等しい）。
• 確率的極限技法により、抽象的な最適ランジュヴィアン方程式が物理的ハミルトニアン相互作用にうまくマッピングされ、実験的実現が可能となった。
• フィードバック制御則は、系の状態と制御入力の2次コスト関数を最小化することで、システムを安定化する。
• 導出結果により、リカチ方程式の演算子値解が有界かつ半正定値であることが確認され、物理的整合性が保証された。