[論文レビュー] Application of the AAK theory for sparse approximation of exponential sums

Gerlind Plonka, Vlada Pototskaia|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2016

Mathematical Approximation and Integration参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、アダムジャン＝アロフ＝クレイン（AAK）理論を用いて、離散的信号を指数和として疎近似するための新規アルゴリズムを提案する。初期パラメータ回復にプレニー法を組み合わせ、AAKに基づく最適化を施すことにより、$\ell^{1}$および$\ell^{2}$ノルムにおける最小誤差近似を計算し、特異値を用いて最適な低ランクヘンケル行列近似を達成する。数値結果では、ハックブッシュのリーマンに基づく手法など、既存手法と比較して同等または優れた性能を示している。

ABSTRACT

In this paper, we derive a new method for optimal $\ell^{1}$- and $\ell^2$-approximation of discrete signals on ${\mathbb N}_{0}$ whose entries can be represented as an exponential sum of finite length. Our approach employs Prony's method in a first step to recover the exponential sum that is determined by the signal. In the second step we use the AAK-theory to derive an algorithm for computing a shorter exponential sum that approximates the original signal in the $\ell^{p}$-norm well. AAK-theory originally determines best approximations of bounded periodic functions in Hardy-subspaces. We rewrite these ideas for our purposes and give a proof of the used AAK theorem based only on basic tools from linear algebra and Fourier analysis. The new algorithm is tested numerically in different examples.

研究の動機と目的

• 有限指数和として表現される信号の疎近似において、$\ell^{1}$および$\ell^{2}$ノルムで誤差を最小化する最適な手法の開発。
• 離散的信号によって生成される無限ヘンケル行列の構造的低ランク近似にAAK理論を適用する。
• 元の信号を最小誤差で近似する短い指数和を計算する構成的アルゴリズムの提供。
• 基本的な線形代数およびフーリエ解析のみを用いて、AAK理論と有限次元の指数和近似問題との間の関係を確立する。

提案手法

• 最初に、サンプルデータから元の信号のパラメータを回復するために、APM2によるプレニー法を適用する。
• 信号 $f_k = \sum_{j=1}^N a_j z_j^k$ から無限ヘンケル行列 ${\mathbf{\Gamma}}_{\mathbf{f}}$ を構築する。
• AAK理論を用いて、${\mathbf{\Gamma}}_{\mathbf{f}}$ の最良の $K$ ランク近似を $\ell^{p} \to \ell^{p}$ 演算子ノルムで決定し、誤差は $K$ 番目の特異値 $\sigma_K$ で上限が与えられる。
• 低ランクヘンケル行列から近似信号 $\tilde{f}_k = \sum_{j=1}^K \tilde{a}_j \tilde{z}_j^k$ を再構築し、最適な $\ell^p$-誤差を保証する。
• 高階の作用素理論を避けて、線形代数およびフーリエ解析のみを用いた、この設定におけるAAK定理の自己完結的証明を提供する。
• アルゴリズムを数値的に実装し、$f(x) = 1/x$ に対してハックブッシュのリーマンに基づく近似法と比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 指定された $\ell^p$-誤差許容誤差 $\epsilon$ 以内で信号を近似するための指数和に必要な最小項数 $K$ は何か？
• RQ2 誤差 $\|{\mathbf{f}} - \tilde{{\mathbf{f}}}\|_p$ を最小化するための最適パラメータ $\tilde{z}_j$ および $\tilde{a}_j$ をどのように計算できるか？
• RQ3 AAK理論は、離散的かつ有限サンプルの信号に適応可能であり、構成的証明が可能か？ これにより最適な疎近似が達成できるか？
• RQ4 AAKに基づくアルゴリズムの性能は、リーマン法などの既存手法と比較して、近似誤差およびパrameter構造の観点でどの程度優れているか？

主な発見

• M=100のサンプルで $f(x) = 1/x$ の場合、AAKベースのアルゴリズムは $n=10$ 項で $\ell^2$-誤差 $4.53 \times 10^{-8}$ を達成し、ハックブッシュの手法の $9.80 \times 10^{-8}$ より優れている。
• AAKベースの手法の $\ell^2$-誤差は理論的特異値 $\sigma_n$ に非常に近い。例として $\sigma_5 = 3.3233 \times 10^{-3}$、誤差 $= 3.2870 \times 10^{-3}$ であり、最適性が確認されている。
• アルゴリズムは安定的かつ構造的なパラメータを生成する：$n \geq 5$ の場合、ノード $\tilde{z}_j$ は1に集約し、重み $\tilde{a}_j$ は最初の数項に集中する。
• $n=10$ の場合、AAKベースの近似は相対 $\ell^2$-誤差 $4.53 \times 10^{-8}$ を達成し、最小限の項数で高い精度を示している。
• AAK理論を用いた、数値的に安定した最適 $\ell^p$-近似への構成的パスを提供しており、合成的および実世界の信号の両方で検証済みである。