[論文レビュー] Application of the Level-$2$ Quantum Lasserre Hierarchy in Quantum Approximation Algorithms

Ojas Parekh, Kevin Thompson|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2021

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、QMA完全問題である量子Max Cut問題に対する量子近似アルゴリズムにおいて、レベル-2量子ラッセール階層を初めて応用する。もつれの単一性制約と、レベル-2SDP緩和に基づく新しいラウンド手法を活用することで、0.531の近似因子を達成し、従来の積状態手法を上回った。また、レベル-1では満たせない物理的に整合性のある境界をレベル-2が提供することを示した。

ABSTRACT

The Lasserre Hierarchy is a set of semidefinite programs which yield increasingly tight bounds on optimal solutions to many NP-hard optimization problems. The hierarchy is parameterized by levels, with a higher level corresponding to a more accurate relaxation. High level programs have proven to be invaluable components of approximation algorithms for many NP-hard optimization problems. There is a natural analogous quantum hierarchy, which is also parameterized by level and provides a relaxation of many (QMA-hard) quantum problems of interest. In contrast to the classical case, however, there is only one approximation algorithm which makes use of higher levels of the hierarchy. Here we provide the first ever use of the level-$2$ hierarchy in an approximation algorithm for a particular QMA-complete problem, so-called Quantum Max Cut. We obtain modest improvements on state-of-the-art approximation factors for this problem, as well as demonstrate that the level-$2$ hierarchy satisfies many physically-motivated constraints that the level-$1$ does not satisfy. Indeed, this observation is at the heart of our analysis and indicates that higher levels of the quantum Lasserre Hierarchy may be very useful tools in the design of approximation algorithms for QMA-complete problems.

研究の動機と目的

• QMA完全問題である量子Max Cut問題に対する、積状態解を越えた新しい量子近似アルゴリズムの開発。
• レベル-1と比較して、よりタイトで物理的に整合性のある緩和を提供するレベル-2量子ラッセール階層の有効性の示唆。
• 量子近似における物理的制約（例：もつれの単一性）と半定値計画緩和との間のギャップの埋め合わせ。
• 積状態手法の0.498の限界を超えて、量子Max Cutの最高近似因子の向上。
• レベル-1が満たさない非自明な量子制約を、レベル-2ラッセール緩和が捉えられることの証明。

提案手法

• 量子Max Cut問題にレベル-2量子ラッセール階層を適用し、レベル-1よりもタイトな境界を得る半定値計画問題を導出。
• 従来、Lieb-Mattis理論から導出されたもつれの単一性不等式を、レベル-2緩和によって自然に満たす制約として用いる。
• 積状態に依存せず、レベル-2SDP解に従ってもつれ状態を構築するラウンドアルゴリズムを設計。
• ハイブリッドラウンド戦略を導入：SDP解を用いて非積状態を構築するとともに、別途積状態バージョンの性能を別途評価。
• 解ベクトルが次数2頂点および奇サイクル制約などの重要な不等式を満たすことを確認することで、レベル-2緩和の妥当性を証明。
• 次数が ≤2 に制限されたグラフ（経路およびサイクル）における動的計画法を活用し、線形時間で最大重みマッチングを計算。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 レベル-2量子ラッセール階層は、QMA完全問題に対する新たな近似アルゴリズムの設計に効果的に応用可能か？
• RQ2 レベル-2階層は、レベル-1階層が捉えられない物理的動機付けの制約（例：もつれの単一性）を満たすか？
• RQ3 レベル-2に基づくアルゴリズムは、量子Max Cutに対して、従来の積状態手法を上回る近似因子を達成できるか？
• RQ4 物理的境界（例：Lieb-Mattis）と量子ラッセール階層の間には、形式的な関係があるか？
• RQ5 レベル-2SDPに従うラウンドアルゴリズムは、保証された近似性能を持つ非積状態を生成できるか？

主な発見

• レベル-2量子ラッセール階層は、量子Max Cutに対して0.531の近似因子を達成し、従来の積状態手法の0.498766を上回った。
• レベル-2緩和は、レベル-1階層が満たさないもつれの単一性制約を満たしており、物理的に整合性のある緩和である。
• 著者らは、Lieb-Mattisの単一性境界と量子ラッセール階層の第二段階との間で、初めて明示的な関係を確立した。
• 弱い緩和（レベル-1を含む）はもつれの単一性境界を示さないため、高次の階層が必要であることが示された。
• アルゴリズムの積状態近似部は、SDP値が低い辺（xij ≤ 5/9）に対して0.557931の近似因子を達成し、最悪ケースの0.498766を上回った。
• ラウンド手順では、高SDP値の辺からなるグラフにおける最大重みマッチングを、次数が ≤2 であるため線形時間で計算している。