[論文レビュー] Applications of Convex Analysis to the Smallest Intersecting Ball Problem

Nguyen Mau Nam, Nguyen Thai An+1 more|arXiv (Cornell University)|May 11, 2011

Point processes and geometric inequalities参考文献 13被引用数 18

ひとこと要約

この論文は、弱収束性を有するバナッハ空間における一般化された最小交差球問題を導入し、それを解く。目的は、空でない閉凸集合の有限族が与えられたとき、それらすべてと交差する最小半径の球を見つけることである。凸解析および部分勾配型アルゴリズムを用いて、最適解への収束を確立し、数値結果により、最大ノルムと正方形の標的を用いた2次元例では、収束が約6.5の半径に達することが示された。

ABSTRACT

The smallest enclosing circle problem asks for the circle of smallest radius enclosing a given set of finite points on the plane. This problem was introduced in the 19th century by Sylvester [17]. After more than a century, the problem remains very active. This paper is the continuation of our effort in shedding new light to classical geometry problems using advanced tools of convex analysis and optimization. We propose and study the following generalized version of the smallest enclosing circle problem: given a finite number of nonempty closed convex sets in a reflexive Banach space, find a ball with the smallest radius that intersects all of the sets.

研究の動機と目的

• 古典的な最小包含円問題を、非ゼロサイズの凸集合を含む最小交差球問題へ一般化すること。
• 凸解析および最適化ツールを用いた理論的かつ数値的枠組みを構築し、一般化問題を解くこと。
• 非ユークリッドノルムを伴う有限次元例に対して、部分勾配型アルゴリズムの収束を確立すること。
• 最大ノルム下での正方形標的を用いた例におけるMATLAB実装を通じて、手法の有効性を示すこと。

提案手法

• 点 $ x $ から集合 $ \Omega_i $ までの距離 $ d(x; \Omega_i) $ を用いて、関数 $ D(x) = \max_{i=1,\ldots,n} d(x; \Omega_i) $ の最小化として問題を定式化する。
• 部分微分可能性と一般化勾配を含む凸解析の道具を用いて、滑らかでないコスト関数 $ D(x) $ を分析する。
• 有限次元空間において $ D(x) $ を反復的に最小化するため、ステップサイズ則 $ \alpha_k = 1/k $ を用いた部分勾配型アルゴリズムを適用する。
• $ \mathbb{R}^2 $ における最大ノルムの明示的部分微分表現を用いて、各反復で部分勾配を計算可能にする。
• 6つの正方形標的を用いた2次元例に対して、MATLABでアルゴリズムを実装し、反復点と目的関数値を追跡する。
• 球がすべての標的集合と交差することを保証するため、最も遠い集合までの距離を基準として用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 弱収束性バナッハ空間における凸集合に対して、最小交差球問題を一般化できるか。また、標準的仮定のもとで解が存在するか。
• RQ2 凸解析の道具を用いて、滑らかでない非ユークリッドコスト関数 $ D(x) $ を効果的に最小化できるか。
• RQ3 特にヒルバート空間でない非ヒルバート空間において、部分勾配型アルゴリズムの収束挙動はいかなるものか。
• RQ4 最大ノルム下での幾何的標的（正方形）に対して、このアルゴリズムは数値的にどの程度の性能を示すか。
• RQ5 異なる形状とサイズの集合を扱えるか。また、最適半径への収束は維持されるか。

主な発見

• 凸集合の内部が空である場合、弱収束性バナッハ空間における最小交差球問題は適切に定式化されており、標準的仮定のもとで解が存在することが保証される。
• 最適解 $ \bar{x} \approx (0.02973, 1.00000) $ が数値的に特定され、最適値 $ \widehat{V} \approx 6.50000 $ が100,000回の反復後に達成された。
• ステップサイズ $ \alpha_k = 1/k $ を用いた部分勾配アルゴリズムは最適半径に収束し、100,000回目以降の反復で目的関数値が6.50000に安定した。
• 最大ノルムの使用により、非ユークリッドノルムを適切に扱えることが示された。$ \mathbb{R}^2 $ における球は軸に平行な正方形となる。
• 最大ノルムの部分微分は明示的に特徴付けられており、各反復における部分勾配の正確な計算が可能である。
• 中心や半径が異なる正方形を含む複雑な標的集合に対しても、アルゴリズムは頑健性を示し、収束を示した。