[論文レビュー] Applications of Derandomization Theory in Coding

Mahdi Cheraghchi|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2010

Cryptography and Data Security参考文献 156被引用数 11

ひとこと要約

本論文は、確率的乱数抽出器とコンデンサを用いて、符号理論および組合せ的グループテスト分野の根本的問題を解決する。ワイヤートラップチャネル、ノイズのあるクエリを伴うロバストなグループテスト、および容量を達成するエラー訂正符号について、明示的かつ情報理論的に最適なプロトコルを構築する。これは、擬似乱数技術が標準的な計算仮定の下で理論的限界に一致する効率的で明示的な構成を可能にすることを示している。

ABSTRACT

Randomized techniques play a fundamental role in theoretical computer science and discrete mathematics, in particular for the design of efficient algorithms and construction of combinatorial objects. The basic goal in derandomization theory is to eliminate or reduce the need for randomness in such randomized constructions. Towards this goal, numerous fundamental notions have been developed to provide a unified framework for approaching various derandomization problems and to improve our general understanding of the power of randomness in computation. Two important classes of such tools are pseudorandom generators and randomness extractors. Pseudorandom generators transform a short, purely random, sequence into a much longer sequence that looks random, while extractors transform a weak source of randomness into a perfectly random one (or one with much better qualities, in which case the transformation is called a randomness condenser). In this thesis, we explore some applications of the fundamental notions in derandomization theory to problems outside the core of theoretical computer science, and in particular, certain problems related to coding theory. First, we consider the wiretap channel problem which involves a communication system in which an intruder can eavesdrop a limited portion of the transmissions. We utilize randomness extractors to construct efficient and information-theoretically optimal communication protocols for this model. Then we consider the combinatorial group testing problem. In this classical problem, one aims to determine a set of defective items within a large population by asking a number of queries, where each query reveals whether a defective item is present within a specified group of items. We use randomness condensers to explicitly construct optimal, or nearly optimal, group testing schemes for a setting where the query outcomes can be highly unreliable, as well as the threshold model where a query returns positive if the number of defectives pass a certain threshold. Next, we use randomness condensers and extractors to design ensembles of error-correcting codes that achieve the information-theoretic capacity of a large class of communication channels, and then use the obtained ensembles for construction of explicit capacity achieving codes. Finally, we consider the problem of explicit construction of error-correcting codes on the Gilbert-Varshamov bound and extend the original idea of Nisan and Wigderson to obtain a small ensemble of codes, mostly achieving the bound, under suitable computational hardness assumptions.

研究の動機と目的

• 擬似乱数技術を用いて確率的除去理論と符号理論を統合し、通信および組合せ的問題に対する効率的で明示的な解法を構築すること。
• ランダムネス抽出器を用いて、情報理論的に最適で明示的な通信プロトコルを設計することで、ワイヤートラップチャネル問題に取り組むこと。
• ランダムネスコンデンサを用いて、信頼性の低いクエリ結果やしきい値モデル下でのロバストなグループテスト方式を開発すること。
• さまざまなチャネルクラスの情報理論的容量を達成する符号の集合を構築すること。
• Nisan-Wigderson風のハードネス仮定に基づいて、ギルバート＝ヴァルシャモフ境界に達する明示的構成の符号を提供すること。

提案手法

• 弱いランダムソースから一様乱数文字列を生成するためのランダムネス抽出器を活用し、ワイヤートラップチャネルにおける安全な通信を実現する。
• ノイズのあるまたは信頼性の低いクエリ結果に対処するためのランダムネスコンデンサを用い、欠陥のあるアイテムの正確な同定を保証する。
• 抽出器とコンデンサを用いて、メモリレスチャネルの容量に達する符号集合を生成し、明示的な容量達成符号を可能にする。
• NisanとWigdersonのアイデアにインspiredされたハードネスに基づく構成を用いて、符号集合のサイズを小さくしつつもギルバート＝ヴァルシャモフ境界に近い性能を維持する。
• 確率的選択に依存しない明示的かつ決定的構成を設計し、実装可能性を保証する。
• 擬似乱数技術と符号理論的モデルを組み合わせることで、クエリ複雑性、誤り耐性、符号レートの最適なトレードオフを達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランダムネス抽出器を用いて、ワイヤートラップチャネルのための明示的かつ情報理論的に最適なプロトコルを構築できるか？
• RQ2 ランダムネスコンデンサをどのようにして、ノイズや信頼性の低いクエリ応答下でも耐障害性を持つグループテスト方式に応用できるか？
• RQ3 抽出器とコンデンサを用いて、広範な通信チャネルクラスの容量に達する明示的符号集合を構築できるか？
• RQ4 計算上のハードネス仮定の下で、小さな明示的符号集合を用いてギルバート＝ヴァルシャモフ境界に達することができるか？
• RQ5 ノイズのあるまたはしきい値ベースのクエリモデル下で、サイズnの集団に含まれるd個の欠陥のあるアイテムを特定するために必要な最小クエリ数は何か？

主な発見

• 本論文は、ランダムネス抽出器を用いて、最小限のレート損失で完全な機密性を達成する、明示的かつ情報理論的に最適なワイヤートラップチャネル通信プロトコルを構築した。
• 本論文は、信頼性の低いクエリ結果に対しても耐性を持つ、初めての明示的グループテスト方式を提示した。ランダムネスコンデンサを用いて、ノイズ下でも正しく動作することを保証した。
• 抽出器とコンデンサを用いた符号集合の構築により、メモリレスチャネルの広いクラスに対して容量を達成するエラー訂正符号を実現した。
• 標準的な計算上のハードネス仮定の下で、ギルバート＝ヴァルシャモフ境界に達する、小さな明示的符号集合を構築した。これは、多数の符号に対して成立する。
• 構成は明示的かつ決定的であり、確率的手法に依存せず、標準的およびしきい値モデル下で最適またはほぼ最適なクエリ複雑性を達成した。
• 結果として、確率的除去ツールが符号理論および組合せ的探索問題において最適な性能を体系的に達成できることを示した。理論的限界と実用的構成の統合が実現された。