[論文レビュー] Applications of Distance Correlation to Time Series

Richard A. Davis, Muneya Matsui+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 17, 2016

Advanced Statistical Methods and Models参考文献 23被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、距離相関を用いて定常時系列のラグ付き依存を測定するための自己および相互距離相関関数（ADCFおよびXDCF）を導入する。強い混合条件下で、標本ADCおよびXDCFの漸近的分布が確立され、ARモデルにおける自己相関の検定および適合度検定への応用が示されている。帰無仮説下でのADCの漸近的分布は、独立同分布（i.i.d.）のケースとは顕著に異なることが明らかになった。

ABSTRACT

The use of empirical characteristic functions for inference problems, including estimation in some special parametric settings and testing for goodness of fit, has a long history dating back to the 70s (see for example, Feuerverger and Mureika (1977), Csorgo (1981a,1981b,1981c), Feuerverger (1993)). More recently, there has been renewed interest in using empirical characteristic functions in other inference settings. The distance covariance and correlation, developed by Szekely and Rizzo (2009) for measuring dependence and testing independence between two random vectors, are perhaps the best known illustrations of this. We apply these ideas to stationary univariate and multivariate time series to measure lagged auto- and cross-dependence in a time series. Assuming strong mixing, we establish the relevant asymptotic theory for the sample auto- and cross-distance correlation functions. We also apply the auto-distance correlation function (ADCF) to the residuals of an autoregressive processes as a test of goodness of fit. Under the null that an autoregressive model is true, the limit distribution of the empirical ADCF can differ markedly from the corresponding one based on an iid sequence. We illustrate the use of the empirical auto- and cross-distance correlation functions for testing dependence and cross-dependence of time series in a variety of different contexts.

研究の動機と目的

• ラグ付き依存を測定するための自己および相互距離相関関数を定義することで、距離相関を時系列に拡張すること。
• 強い混合条件下での標本自己および相互距離相関関数の漸近的理論を構築すること。
• ARモデルの残差に対して自己距離相関関数を用いて適合度検定を行うこと。
• ARモデルの帰無仮説下での経験的ADCの漸近的分布が、i.i.d.シーケンスとは著しく異なることを示すこと。
• 非線形および非正規分布の依存性を検出するための従来のACFに対するロバストな代替手法を提供すること。

提案手法

• SzékelyとRizzo（2009）の距離分散フレームワークを用いて、自己距離相関関数（ADCF）および相互距離相関関数（XDCF）を定義する。
• 経験的特性関数とU統計量を用いて、時系列における距離分散および相関の経験的バージョンを構築する。
• 強い混合条件下で、スケーリングされた経験的ADCおよびXDCFがコンパクト集合上の連続関数空間で弱収束することを確立する。
• 漸近的理論を用いて、多変量時系列における自己相関および相互相関の検定を行う。
• ARモデルの帰無仮説下での経験的ADCの漸近的分布を導出し、i.i.d.ケースとは異なることを示す。
• フーリエ解析とモーメントバウンドを用いて、経験的特性関数と真の特性関数との差の挙動を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 距離相関は、単変量および多変量時系列におけるラグ付き依存を測定するためにどのように適合可能か？
• RQ2 強い混合条件下での標本自己および相互距離相関関数の漸近的分布は何か？
• RQ3 ARモデルの帰無仮説下での経験的ADCの漸近的分布は、i.i.d.シーケンスの場合とどのように異なるか？
• RQ4 自己距離相関関数は、AR過程の適合度検定として効果的に使用可能か？
• RQ5 従属する時系列データに適用された経験的距離相関の理論的性質は何か？

主な発見

• 強い混合下での標本自己距離相関関数（ADCF）の漸近的分布は、i.i.d.シーケンスとは顕著に異なる。特にARモデルの帰無仮説下で顕著である。
• 適切なモーメントおよび混合条件の下で、経験的ADCはコンパクト集合上の連続関数空間においてガウス過程に弱収束する。
• AR帰無仮説下でのADCの漸近的分布は、i.i.d.のケースとは同一ではないため、ARモデルにおける適合度検定には、i.i.d.ケースからの標準的有意水準が不適切である。
• 本手法は、自己相関関数（ACF）が失敗する状況、例えば非相関的だが依存性を示す金融時系列においても、依存性を効果的に検出できる。
• 経験的特性関数と真の特性関数との差に対する理論的バウンドにより、強い混合下でも経験的距離相関の一貫性が保証される。
• U統計量とモーメント条件の使用により、経験的距離相関関数の収束速度および漸近正規性が導出可能である。