[論文レビュー] Applications of Foelner's condition to quantum groups

David Kyed, Andreas Thom|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2009

Advanced Operator Algebra Research参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、コアメニブルな量子群に Følner 条件を適用し、von Neumann 代数設定における Murray-von Neumann 維度の収束結果を確立するとともに、関連するホップ代数の構造的性質、特にその Ore 環構造についても導出する。主な貢献は、可約核心表現の結合代数における Følner 数列を用いて、特定の作用素の核の次元を有限次元表現によって近似することにある。

ABSTRACT

Using the Foelner condition for coamenable quantum groups we derive information about the ring theoretical structure of the Hopf algebras arising from such quantum groups, as well as an approximation result concerning the Murray von Neumann dimension associated with the corresponding the von Neumann algebra.

研究の動機と目的

• コアメニブルな量子群から生じるホップ代数の環論的構造を、Følner の条件を用いて調査すること。
• コンパクトな量子群に付随する von Neumann 代数における Murray-von Neumann 維度の近似結果を確立すること。
• 可約核心表現の結合代数における Følner 条件が、$L^2({\mathbb{G}})$ 上の特定の作用素の核の次元とどのように関連するかを明らかにすること。
• 作用素 $R_T^{(2)}$ の核の次元が、$L^2({\mathbb{G}})$ 上の表現作用素の有限次元近似によって Følner 数列を用いて近似可能であることを示すこと。
• 十分に大きな $i$ に対して、$L^\infty({\mathbb{G}})$ 上の $R_T^{(2)}$ の核の次元が $L^\infty({\mathbb{G}}_i)$ 上のそれと収束する条件を提示すること。

提案手法

• 論文は、コアメニブルなコンパクトな量子群 $\mathbb{G}$ の可約核心表現の結合代数における Følner 条件を用いる。これは、サイズに比べて境界が小さい有限集合 $F$ を用いて定義される。
• 直接極限としての量子群 $\mathbb{G}_i$ からのホモロジー $\pi_i$ を介して、$L^2({\mathbb{G}})$ 上の作用素 $R_T^{(2)}$ の有限次元近似を構成する。
• 主な技術的道具は、作用素 $R_T^{(2)}$ 及びその核の構造を近似量子群間で保存するユニタリ写像 $\pi_i^{(2)}$ を含む可換図式である。
• 証明は、境界のサイズ $|\partial_S F|$ と $F_i$ のサポート上のヒール重み $\hat{h}_{{\mathbb{G}}_i}$ を用いた、Murray-von Neumann 維度の差の推定に依存する。
• 不等式 $|\dim_{L^\infty(\mathbb{G})}\ker(R_T^{(2)}) - \dim_{L^\infty(\mathbb{G}_i)}\ker(R_{T_i}^{(2)})| \leq 2n \frac{|\partial_S F|}{|F|}$ を適用し、収束を示す。
• 収束は、$|\partial_S F|/|F| < \varepsilon/(2n)$ となるように $F$ を選ぶことで確立され、十分に大きな $i$ に対して次元の差が $\varepsilon$ 未満になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可約核心表現の結合代数における Følner 条件は、$L^2({\mathbb{G}})$ 上の作用素の核の次元とどのように関連するか？
• RQ2 $L^\infty({\mathbb{G}})$ 上の $R_T^{(2)}$ の核の Murray-von Neumann 維度は、量子群の有限次元表現によって近似可能か？
• RQ3 コアメニブル性と Følner 条件から生じるホップ代数 $\operatorname{Pol}({\mathbb{G}})$ の構造的性質は何か？
• RQ4 $i$ が増加する際、$L^\infty({\mathbb{G}})$ 上の $R_T^{(2)}$ の核の次元が $L^\infty({\mathbb{G}}_i)$ 上のそれと収束する条件は何か？
• RQ5 集合 $F$ および $S$ のサポートと結合積上で $\pi_i$ の単射性が、境界および核の構造の保存をどのように保証するか？

主な発見

• 十分に大きな $i$ に対して、$\mathbb{G}_i$ が関連する集合上で $\pi_i$ が局所的に単射であるような量子群の直接極限である限り、$L^\infty({\mathbb{G}})$ 上の $R_T^{(2)}$ の核の Murray-von Neumann 維度は、$L^\infty({\mathbb{G}}_i)$ 上のそれによって任意に良く近似可能である。
• 核の次元の差には $|\dim_{L^\infty(\mathbb{G})}\ker(R_T^{(2)}) - \dim_{L^\infty(\mathbb{G}_i)}\ker(R_{T_i}^{(2)})| \leq 2n \frac{|\partial_S F|}{|F|}$ という境界が成り立ち、Følner 条件によりこれを任意に小さくできる。
• 任意の $\varepsilon > 0$ に対して、$F \subseteq \operatorname{Irred}(\mathbb{G})$ なる有限集合が存在し、$|\partial_S F|/|F| < \varepsilon/(2n)$ を満たす。これにより、次元近似の収束が保証される。
• $F_i$ 上の有限次元近似における核の次元は、$\dim_F(\ker(R_T^F)) = \dim_{F_i}(\ker(R_{T_i}^{F_i}))$ を満たし、$\pi_i$ の下で構造が保存される。
• $\partial_{S_i}F_i$ 上のヒール重み $\hat{h}_{{\mathbb{G}}_i}$ は、$\partial_S F$ 上の $\hat{h}_{{\mathbb{G}}}$ と一致し、次元推定の整合性が保たれる。
• 核の次元の収束は、ユニタリ写像 $\pi_i^{(2)}$ を含む可換図式を介して確立され、近似量子群間で作用素構造および核の次元が保存される。