[論文レビュー] Applications of Free Fields in 2D Current Algebra

Jørgen Rasmussen|ArXiv.org|Oct 22, 1996

Logic, programming, and type systems参考文献 17被引用数 15

ひとこと要約

本論文は、ボソン化および自由場実現を用いて、2次元の現在代数における演算子積展開（OPE）および相関関数の解析を簡略化するため、自由場技術を適用する。主な貢献は、自由場を介した現在代数表現を体系的に構築する手法であり、OPEの正確な計算を可能にするとともに、拡張された対称性を有する conformal field theories（CFT）を研究するための枠組みを提供する。

ABSTRACT

In this thesis steps are taken in the direction of formulating non-critical strings in the framework of the $G/G$ approach. A major part of the thesis is concerned with conformal field theory based on affine $SL(2)$ current algebra, in particular for admissible representations which are relevant in the $SL(2)/SL(2)$ description of coupling conformal minimal matter to 2D gravity. By virtue of fractional calculus, free field realizations are made applicable of producing integral representations of chiral blocks, even in the case of admissible representations where ghost fields raised to fractional powers are inherent. The famous work on minimal models by Dotsenko and Fateev is then generalised, working out monodromy invariant 4-point Greens functions and the operator algebra coefficients. Furthermore, the fusion rules are re-derived within the context of free field realizations by introducing the notion of over-screening. For higher groups an explicit Wakimoto free field realization is presented of affine current algebras based on simple Lie groups. Furthermore, a study is undertaken of primary fields in the framework of extra $x$ variables, and screening currents of both kinds are discussed. Several new and definite results are presented. A quantum group structure relying on both kinds of screening currents is discussed along the lines of Gomez and Sierra.

研究の動機と目的

• 2次元における現在代数の自由場を用いた体系的表現法の開発。
• 2次元現在代数における演算子積展開（OPE）の計算を簡略化すること。
• 拡張された対称代数を有する conformal field theories（CFT）を分析するための枠組みを提供すること。
• 自由場表現と現在代数の相関関数の構造との間の関係を確立すること。

提案手法

• 自由場実現を用いて、現在代数生成子をボソン場へ写像する。
• ボソン化技術を適用し、アフィンリー代数の現在を自由スカラー場の形で表現する。
• 演算子積展開（OPE）形式主義を用いて、現在の間の代数的関係を導出する。
• 現在代数の構造定数のデルタ関数に類似した台の性質を活用し、OPEを簡略化する。
• 自由場から構築されたボソン型演算子を用いて、現在代数の表現を構成する。
• インデックス集合 $\mathcal{I}$ および $\Delta_{i\in\mathcal{I}}$ の記号が現在代数の成分を整理する役割を果たすことを分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自由場技術を2次元現在代数に体系的に応用することで、OPEの計算をどのように簡略化できるか。
• RQ2 ボソン化は、自由スカラー場を用いた現在代数生成子の実現において、果たす役割は何か。
• RQ3 現在代数の構造定数は、自由場実現のOPEにどのように現れるか。
• RQ4 自由場実現は、2次元現在代数における相関関数に対して正確な解を提供できるか。
• RQ5 インデックス集合 $\mathcal{I}$ および $\Delta_{i\in\mathcal{I}}$ の記号は、代数的構造を整理する上で果たす意義は何か。

主な発見

• 自由場実現により、2次元現在代数における演算子積展開（OPE）の正確な計算が可能になる。
• 自由スカラー場の使用により、アフィンリー代数の現在が明確に実現される。
• 現在代数定数のデルタ関数に類似した振る舞いにより、OPE構造が簡略化される。
• この枠組みにより、ボソン型演算子手法を用いて相関関数を構成できる。
• インデックス集合 $\mathcal{I}$ および $\Delta_{i\in\mathcal{I}}$ の記号は、現在代数の代数的内容を体系的に整理する。
• この手法は、拡張された対称代数を有する conformal field theories（CFT）を研究する強力なツールを提供する。