[論文レビュー] Applications of Magnetic PsiDO Techniques to Space-adiabatic Perturbation Theory

Giuseppe De Nittis, Max Lein|HAL (Le Centre pour la Communication Scientifique Directe)|Jun 15, 2010

Topological Materials and Phenomena参考文献 19被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、磁気擬微分作用素（magnetic ΨDO）技術を組み込むことで、弱くゆっくり変化する電磁場を有する系への空間断熱摂動理論（SAPT）の拡張を試みる。定数磁場下でも、1粒子系の有効ダイナミクスが修正されたPeierls置換ハミルトニアンに従い、半古典的パラメータεの任意の次数まで補正が保たれ、Blochバンドのほぼ不変部分空間構造が維持されることを証明した。これにより、O(ε²)の精度で量子時間発展の半古典的近似が可能となる。

ABSTRACT

In this review, we show how advances in the theory of magnetic pseudodifferential operators (magnetic $Ψ$DO) can be put to good use in space-adiabatic perturbation theory (SAPT). As a particular example, we extend results of [PST03] to a more general class of magnetic fields: we consider a single particle moving in a periodic potential which is subjectd to a weak and slowly-varying electromagnetic field. In addition to the semiclassical parameter $\eps \ll 1$ which quantifies the separation of spatial scales, we explore the influence of additional parameters that allow us to selectively switch off the magnetic field. We find that even in the case of magnetic fields with components in $C_b^{\infty}(\R^d)$, e. g. for constant magnetic fields, the results of Panati, Spohn and Teufel hold, i.e. to each isolated family of Bloch bands, there exists an associated almost invariant subspace of $L^2(\R^d)$ and an effective hamiltonian which generates the dynamics within this almost invariant subspace. In case of an isolated non-degenerate Bloch band, the full quantum dynamics can be approximated by the hamiltonian flow associated to the semiclassical equations of motion found in [PST03].

研究の動機と目的

• 弱くゆっくり変化する電磁場を有する系への空間断熱摂動理論（SAPT）の拡張を目的とする。
• 定数磁場下では周期的構造が破壊されるため、標準的なSAPTが周期性の欠如により失敗する状況を扱う。
• 磁場下における孤立した非簡約Blochバンドに対して、ほぼ不変部分空間および有効ハミルトニアンの存在を確立する。
• 半古典的パラメータεのべき級数として、有効ダイナミクスの体系的展開を導出し、磁場からの補正を含む。
• 定数磁場が存在する場合でも、全量子時間発展が有効ハミルトニアンの流れによりO(ε²)の誤差で近似可能であることを証明する。

提案手法

• ε ≪ 1（空間的断熱スケール）とλ（磁場強度）の二重スケールパラメータ化を導入し、磁場の選択的投入を可能にする。
• C∞b(Rd)に属する成分を有する磁場を扱うために、磁気Weyl微積分および磁気擬微分作用素（magnetic ΨDO）を適用する。
• ブロッホ＝フラウエーツ＝ザーク（BFZ）変換を用いて、ハミルトニアンをブリユアンゾーンM∗上のファイバー作用素に分解する。
• 有効ハミルトニアンheffをPeierls置換により導出し、これは磁気擬微分作用素として定義され、ほぼ不変部分空間内でのダイナミクスを生成する。
• 量子的巨視的観測量の時間発展が、heffの古典的流れによりO(ε²)で近似可能であることを示すEgorov型定理を確立する。
• Egorov定理とユニタリ変換および漸近展開を組み合わせ、全量子時間発展と有効ダイナミクスの関係を確立し、主な近似結果を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定数磁場下ではBlochバンド構造が破壊されるが、空間断熱摂動理論は、これに対しても拡張可能か？
• RQ2 弱く定数の磁場下でも、Peierls置換は有効ハミルトニアンとして有効性を保つのか？
• RQ3 磁場が定数であっても、全量子ダイナミクスが有効ハミルトニアンの流れによりO(ε²)の誤差で近似可能か？
• RQ4 磁場は有効ダイナミクスのシンプレクティック構造をどのように修正するのか？また、擬スピン磁場Ωは果たす役割は何か？
• RQ5 磁場を含む場合でも、有効ダイナミクスは非可換ポアソン括弧構造に従うのか？

主な発見

• C∞b(Rd)に属する定数磁場（成分）に対しても、各孤立した非簡約Blochバンドに対してほぼ不変部分空間が存在し、SAPTの核心的構造が保たれる。
• 有効ハミルトニアンはPeierls置換により与えられる：heff = E∗(−i∇x − λA(εx)) + φ(εx)，これは磁気擬微分作用素として定義される。
• 有効ダイナミクスは、磁場Bと量子的擬スピン磁場Ωの寄与を含む修正されたシンプレクティック形式（5.8）に従い、位置座標の非可換性が生じる：{reffl, reffj}λB,εΩ = −εΩlj。
• 巨視的観測量の量子的時間発展は、O(ε²)の誤差で有効ハミルトニアンの流れにより近似可能である。これはEgorov型定理（定理5.1）により証明された。
• ほぼ不変部分空間に制限された全量子時間発展は、O(ε²)の誤差で巨視的流れΦmacro_tにより近似可能である。これは定理5.2に述べられている。
• 本手法は一般の磁場（滑らかなベクトルポテンシャルを必要としない）に対して頑健であり、磁場成分B ∈ C∞b(Rd)にのみ依存する。これにより、定数およびゆっくり変化する磁場を扱える。