[論文レビュー] Applications of Rewriting Systems and Groebner Bases to Computing Kan Extensions and Identities Among Relations

Anne Heyworth|ArXiv.org|Dec 17, 1998

semigroups and automata theory参考文献 46被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、書き換え系とグレブナー基底を組み合わせた計算フレームワークを構築し、群論におけるカーン拡張および関係の間の恒等式をアルゴリズム的に計算することを目的としている。Knuth-Bendix手順がBuchbergerのアルゴリズムの特殊ケースであることを確立し、ペトリネットを用いたオートマトンベースの還元マシンを可能とし、群の書き換え系の完成手続きを用いて関係の間の恒等式のための収縮ホモトピーを計算する。最終段階をグレブナー基底問題に還元し、GAP3に完全なアルゴリズムが実装されている。

ABSTRACT

This thesis concentrates on the development and application of rewriting and Groebner basis methods to a range of combinatorial problems. Chapter Two contains the most important result, which is the application of Knuth-Bendix procedures to Kan extensions, showing how rewriting provides a useful method for attempting to solve a variety of combinatorial problems which can be phrased in terms of Kan extensions. Chapter Three shows that the standard Knuth-Bendix algorithm is step-for-step a special case of Buchberger's algorithm. The one-sided cases and higher dimensions are considered. Chapter Four relates rewrite systems, Groebner bases and automata. Automata which only accept irreducibles, and automata which output reduced forms are discussed for presentations of Kan extensions. Reduction machines for rewrite systems are identified with standard output automata and the reduction machines devised for algebras are expressed as Petri nets. Chapter Five uses the completion of a group rewriting system to algorithmically determine a contracting homotopy necessary in order to compute the set of generators for the module of identities among relations using the covering groupoid methods devised by Brown and Razak Salleh. Reducing the resulting set of submodule generators is identified as a Groebner basis problem. Algorithms are implemented in GAP3.

研究の動機と目的

• 書き換え系とグレブナー基底を用いてカーン拡張を計算するアルゴリズム的手法を開発すること。
• Knuth-Bendix完成手続きとグレブナー基底のBuchbergerのアルゴリズムとの間の正式な関係を確立すること。
• 自動機とペトリネットを用いて還元プロセスをモデル化し、計算を効率化すること。
• 書き換え系の完成を用いて群の提示における関係の恒等式のための収縮ホモトピーを計算すること。
• 群の提示における関係の恒等式の計算をグレブナー基底問題に還元し、アルゴリズム的実装を可能とすること。

提案手法

• カーン拡張を表す書き換え系にKnuth-Bendix完成手続きを適用する。
• Knuth-Bendixアルゴリズムが一様および高次元設定におけるBuchbergerのアルゴリズムの特殊ケースであることを示す。
• カーン拡張提示のための既約項を受け入れ、還元形を出力する自動機を構築する。
• 書き換え系の還元マシンを標準出力自動機として表現し、それをペトリネットとしてモデル化する。
• 群の書き換え系の完成を用いて、関係の恒等式を計算するのに必要な収縮ホモトピーを導出する。
• グレブナー基底技術を用いて、得られた部分加群生成元集合を最小形に還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 書き換え系をどのように体系的にカテゴリー論におけるカーン拡張の計算に応用できるか？
• RQ2 Knuth-Bendix完成プロセスがグレブナー基底のBuchbergerのアルゴリズムとどのように同等であるか？
• RQ3 自動機とペトリネットをどのように用いて書き換え系における還元プロセスをモデル化・実装できるか？
• RQ4 収縮ホモトピーは関係の恒等式の計算においてどのような役割を果たし、どのようにアルゴリズム的に導出できるか？
• RQ5 群の提示における関係の恒等式の計算をグレブナー基底問題に還元できるか？

主な発見

• Knuth-Bendix手順が正式にBuchbergerのアルゴリズムの特殊ケースであることが示され、項書き換えとグレブナー基底計算の間の深い理論的関係が確立された。
• カーン拡張提示のための既約項を受け入れ、還元形を出力する自動機が構築され、効果的な計算が可能になった。
• 書き換え系の還元マシンがペトリネットとしてモデル化され、計算プロセスの形式的かつ実行可能な表現が得られた。
• 群の書き換え系の完成により収縮ホモトピーが得られ、関係の恒等式のモジュールを計算する上で不可欠な役割を果たした。
• 関係の恒等式のための部分加群生成元集合の還元という最終段階が、グレブナー基底問題として特定され、アルゴリズム的に解けることが示された。
• 提案されたすべてのアルゴリズムがGAP3計算代数システムに実装されており、実用的妥当性が示された。