[論文レビュー] Applications of Some Elliptic Equations in Riemannian Manifolds

Qin Huang, Qihua Ruan|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2013

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、非負な Bakry-Emery リッチ曲率をもつコンパクトなリーマン多様体上のドリフトするラプラシアンの第一非ゼロ固有値に対する鋭い下界を、発散定理と Reilly 型不等式から導かれた重み付き平均曲率の推定を用いて確立する。主な結果は、等号が成り立つのは多様体がユークリッド球に等長であり、重み関数が定数である場合に限ることであり、これは Reilly と Ros の古典的な剛性定理を Bakry-Emery 曲率を含む重み付き設定に拡張するものである。

ABSTRACT

Let $(M^{n+1}, g)$ be a compact Riemannian manifold with smooth boundary B and nonnegative Bakry-Emery Ricci curvature. In this paper, we use the solvability of some elliptic equations to prove some estimates of the weighted mean curvature and some related rigidity theorems. As their applications, we obtain some lower bound estimate of the first nonzero eigenvalue of the drifting Laplacian acting on functions on B and some corresponding rigidity theorems.

研究の動機と目的

• 境界をもつコンパクトなリーマン多様体上で、ドリフトするラプラシアンの第一非ゼロ固有値に対する鋭い下界を導出すること。
• Reilly と Ros の古典的な剛性定理を、Bakry-Emery リッチ曲率を含む重み付き設定に一般化すること。
• 非負な Bakry-Emery リッチ曲率の下で、重み付き平均曲率 $ H_h $ に対する新しい推定を確立すること。
• 固有値および曲率推定における等号成立の条件を特定し、多様体がユークリッド球に等長であり、重み関数が定数である場合を同定すること。

提案手法

• 発散定理と Bakry-Emery リッチテンソル $ Ric_m $ の曲率評価を用いて、重み付き Reilly 型不等式を導出する。
• 不等式 $ \int_M \frac{m-1}{m}((\bar{\triangle}_h f)^2 - Ric_m(\bar{\nabla}f, \bar{\nabla}f)) dV_h \geq \int_B (2(\triangle_h f)f_\nu + nH_h f_\nu^2 + \Pi(\nabla f, \nabla f)) dA_h $ を適用する。ここで $ m \geq n+1 $ である。
• 重み付き平均曲率 $ H_h = H - \frac{1}{n} h_\nu $ と境界上の重み付き測度 $ dA_h = e^{-h} dA $ を用いる。
• 関数 $ \frac{1}{2}|\bar{\nabla}f|^2 $ に発散定理を適用し、$ f_\nu $ と $ \triangle_h f $ を含む積分恒等式を導出する。
• 境界上で固有関数条件 $ \triangle_h u = -\lambda_1 u $ を課し、Dirichlet 問題を用いて $ u $ を内部に調和的に拡張する。
• 不等式における等号条件（例えば $ \bar{\nabla}^2 f = 0 $、$ |\bar{\nabla}f|^2 = \text{const} $）を用いて剛性を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非負な Bakry-Emery リッチ曲率をもつコンパクトなリーマン多様体上でのドリフトするラプラシアンの第一非ゼロ固有値に対する鋭い下界は何か？
• RQ2 重み付き平均曲率推定 $ \int_B \frac{dA_h}{H_h} \geq \frac{mn}{m-1} V_h $ における等号が成り立つ条件は何か？
• RQ3 Bakry-Emery リッチ曲率 $ Ric_m \geq 0 $ の下で、重み付き平均曲率 $ H_h $ は多様体の幾何にどのように制約を加えるか？
• RQ4 Reilly と Ros の剛性定理は、非定数の重み関数を含むドリフトするラプラシアンの設定に拡張可能か？
• RQ5 どのような幾何的条件が、多様体がユークリッド球に等長であり、$ h $ が定数であることを示すか？

主な発見

• ドリフトするラプラシアンの第一非ゼロ固有値 $ \lambda_1 $ は $ \lambda_1 \geq (m-1)c^2 $ を満たし、等号が成り立つのは $ M $ が半径 $ \frac{1}{c} $ のユークリッド球に等長であり、$ h $ が定数である場合に限る。
• 重み付き平均曲率は $ \int_B \frac{dA_h}{H_h} \geq \frac{mn}{m-1} V_h $ を満たし、等号が成り立つのは $ M $ がユークリッド球に等長であり、$ h $ が定数である場合に限る。
• もし $ H_h \geq \frac{(m-1)A_h}{mn V_h} $ ならば、$ M $ はユークリッド球に等長であり、$ h $ は定数である。これは Ros の結果を重み付きの場合に拡張するものである。
• 境界上でのドリフトするラプラシアンの第一非ゼロ固有値 $ \lambda_1 $ に対しては $ \lambda_1 \leq (m-1)c^2 $ が成り立ち、等号が成り立つと $ M $ はユークリッド球であり、$ h $ は定数であることが示される。
• 固有値推定における等号成立は $ \bar{\nabla}^2 f = 0 $、$ |\bar{\nabla}f|^2 = 1 $、および $ f_\nu = c u $ を意味し、多様体がユークリッド球に同定されることにつながる。
• 等号条件の下では $ \frac{A_h}{V_h} = \frac{\lambda_1 + c^2}{c} $ が成り立ち、境界の面積と体積が固有値および曲率と関連づけられる。