[論文レビュー] Applications of Steiner symmetrization to some extremal problems in geometric function theory

Ronen Peretz|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2016

Analytic and geometric function theory参考文献 3被引用数 16

ひとこと要約

この論文は、単位円板内の正則関数に対する幾何学的関数論の極値問題を解くためにスティーナー対称化を適用する。$L^p$-ノルムの境界値に対する最小化が示され、$p=2$ に対して鋭い不等式が証明され、不等式が成立しなくなる臨界閾値 $p$ を特定する。

ABSTRACT

In this paper we investigate properties of the Steiner symmetrization in the complex plane. We use two recursive dynamic processes in order to derive some sharp inequalities on analytic functions in the unit disk. We answer a question that was asked by Albert Baernstein II, regarding the coefficients of circular symmetrization. We mostly deal with the Steiner symmetrization $G$ of an analytic function $f$ in the unit disk $U$. We pose few problems we can not solve. An intriguing one is that of the inequality $$ \int_{0}^{2π} |f(re^{iθ})|^{p}dθ\le\int_{0}^{2π} |G(re^{iθ})|^{p}dθ,\,\,0

研究の動機と目的

• 単位円板内の正則関数に対して複素平面におけるスティーナー対称化の性質を調査すること。
• アーヴィン・ベーンスタイン2世が提起した円対称化の係数に関する問題を解決すること。
• スティーナー対称化の下で単葉関数の境界値の $L^p$-ノルムに対する鋭い不等式を導出すること。
• 不等式 $\int_0^{2\pi} |f(re^{i\theta})|^p d\theta \leq \int_0^{2\pi} |G(re^{i\theta})|^p d\theta$ が成り立つ $p$ の上界を特定すること。ここで $G$ は $f$ のスティーナー対称化である。
• 関数 $N(p,\alpha) = \inf_{f \in S(p,\alpha)} \int_0^{2\pi} |f'(e^{i\theta})| d\theta$ の極値関数を特徴付けること。

提案手法

• 極値関数を分析するために、スティーナー対称化とコンフォーマル写像を含む2つの再帰的動的プロセスを用いる。
• 部分関数の比較とノルムの評価に、リトルウッドの劣分数定理とシュワルツの補題を適用する。
• 単純接続領域から単位円板へのコンフォーマル写像を構成するためにリーマン写像定理を用いる。
• 元の関数 $f$ とその対称化極限 $G$ を結ぶために、縮小係数 $c_{\phi_n}$ の無限積を用いる。
• 面積積分 $\pi R^2 = \int_0^{2\pi} \Re\{f(e^{i\theta})\} \Re\{e^{i\theta} f'(e^{i\theta})\} d\theta$ を用いて、極限コンフォーマル写像 $G$ の重要な公式を導出する。
• 無限積 $c_{\phi_n}$ から得られる縮小係数 $c = \max\left\{ \frac{1}{G'(0)}, \frac{\alpha}{\|G\|_2} \right\}$ を用いて鋭い推定を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの $p \in (0, \infty)$ に対して不等式 $\int_0^{2\pi} |f(re^{i\theta})|^p d\theta \leq \int_0^{2\pi} |G(re^{i\theta})|^p d\theta$ が成り立つのか、ここで $G$ は $f$ のスティーナー対称化である。
• RQ2 この不等式が $p=2$ で成り立つが、大きな $p$ では成立しないため、その不等式が依然として有効である $p$ の上界は何か。
• RQ3 関数 $N(p,\alpha)$ の極値関数は $S(p,\alpha)$ 内に存在しうるか。また、それらの像領域が満たすべき幾何的性質は何か。
• RQ4 再帰的対称化プロセスはどのように収束するのか。また、縮小係数は極限においてどのような役割を果たすのか。
• RQ5 境界積分 $\int_0^{2\pi} \Re\{f(e^{i\theta})\} \Re\{e^{i\theta} f'(e^{i\theta})\} d\theta$ の実部を用いて、$G'(0)$ の鋭い境界をどのように表せるか。

主な発見

• 不等式 $\int_0^{2\pi} |f(re^{i\theta})|^p d\theta \leq \int_0^{2\pi} |G(re^{i\theta})|^p d\theta$ は $p=2$ で成り立ち、この境界は鋭い。
• この不等式が成り立つ $p$ の上界は $\infty$ よりも厳密に小さいが、正確な値は未だ不明である。
• $N(p,\alpha)$ の極値関数は、非凸またはスリット領域では劣分数による矛盾が生じるため、単位円板を凸領域にマッピングする必要がある。
• 再帰的対称化プロセスの極限関数 $G$ は $G(z) = R z$ を満たし、ここで $R = \left( \frac{1}{\pi} \int_0{2\pi} \Re\{f(e^{i\theta})\} \Re\{e^{i\theta} f'(e^{i\theta})\} d\theta \right)^{1/2}$ である。
• 鋭い推定 $\max\left\{1,\alpha\right\} \cdot \left( \frac{1}{\pi} \int \Re\{f\} \Re\{e^{i\theta} f'\} d\theta \right)^{-1/2} \leq \max\left\{ \frac{1}{G'(0)}, \frac{\alpha}{\|G\|_2} \right\} \leq 1$ が確立され、極限で等号が成立する。
• 小さい $\alpha$ に対して、$G'(0) \leq \left( \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} \Re\{f(e^{i\theta})\} \Re\{e^{i\theta} f'(e^{i\theta})\} d\theta \right)^{1/2}$ は鋭い。