[論文レビュー] Applications of the Jacobi group to Quantum Mechanics

Stefan Berceanu, Andrei H Gheorghe|ArXiv.org|Dec 2, 2008

Advanced Algebra and Geometry参考文献 6被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、ジャコビ群のシュレーディンガー＝ヴァイルおよび離散的系列表現の無限小の正則実現を構築し、歪み状態を導入し、明示的な行列要素、多項式演算子の期待値、不確定性関係を導出する。歪み状態が位置と運動量において量子ノイズを低減することを確立し、マンデルのパラメータが光子統計を定量化することを示し、複素ディスク条件によって定義される歪み領域を同定する。

ABSTRACT

Infinitesimal holomorphic realizations for the Schrödinger-Weil representation and the discrete series representations of the Jacobi group are constructed. Explicit expressions of the basic differential operators are obtained. The squeezed states for the unitary irreducible representation of the Jacobi group are introduced. Matrix elements of the squeezed operators, expectation values of polynomial operators in infinitesimal generators of the Jacobi group, the squeezing region and a description of Mandel's parameter are presented.

研究の動機と目的

• ジャコビ群のシュレーディンガー＝ヴァイルおよび離散的系列表現の無限小の正則実現を構築すること。
• ジャコビ群のユニタリ的不可約表現における歪み状態を定義し、それらを分析すること。
• 超幾何関数およびルジャンドル関数を用いて、歪みおよび変位演算子の行列要素を計算すること。
• ジャコビ群の無限小生成子における多項式演算子の期待値を導出すること。
• 歪み領域を特徴づけ、歪み状態における光子統計のマンデルのパラメータを分析すること。

提案手法

• ボソンの生成・消滅演算子およびSL(2,R)生成子を用いて、ジャコビ群の無限小生成子を実現する。
• リー代数の複素化を通じて演算子 $ a, a^ op, K_ullet $ を導入し、標準的なボソン的および $ \text{sl}(2,\bbR) $ の交換関係を満たす。
• 生成子の指数関数として歪み演算子 $ S(w) $ および変位演算子 $ D(\beta) $ を定義し、$ w \to 0 $ のときの極限がコherent状態に回帰することを示す。
• 離散的系列表現における $ S(w) $ の行列要素を、超幾何関数として導出する：$ \braket{\tilde{\theta}_{n'}^{[k]}|S(w)|\tilde{\theta}_n^{[k]}} = \frac{\nu_{kn} w^s}{\nu_{kn'} s!} (1-|w|^2)^h F(-n, s+n+2h; s+1; |w|^2) $。
• 真空および数状態を変換する歪み状態のベクトル $ T(\beta,w)\rho = S(-w)D(-\beta)\rho D(\beta)S(w) $ を定義する。
• 歪みおよび変位の下で変換された演算子 $ \tilde{a}, \tilde{K}_\bullet $ を計算し、期待値計算を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ジャコビ群のシュレーディンガー＝ヴァイルおよび離散的系列表現は、どのように無限小生成子を用いて正則的に実現できるか？
• RQ2 ジャコビ群の文脈において、歪みおよび変位演算子の行列要素は何か？
• RQ3 ジャコビ群の歪み状態における位置および運動量演算子の不確定性関係は、どのように振る舞うか？
• RQ4 変位および歪み状態におけるマンデルのパラメータの振る舞いは何か？また、それはいつサブポアソン統計を示すか？
• RQ5 ジャコビ群表現における量子歪みが発生する複素 $ w $-平面上の領域は何か？

主な発見

• 離散的系列表現における $ S(w) $ の行列要素は、超幾何関数として表される：$ \braket{\tilde{\theta}_{n'}^{[k]}|S(w)|\tilde{\theta}_n^{[k]}} = \frac{\nu_{kn} w^s}{\nu_{kn'} s!} (1-|w|^2)^h F(-n, s+n+2h; s+1; |w|^2) $、ここで $ h = (2k-1)/4 $。
• 不確定性積は $ \braket{q^2}\braket{p^2} = \braket{qp}^2 + \frac{\bar{h}^2}{4} $ を満たし、歪み状態においてハイゼンベルクの不確定性限界が達成されることを確認する。
• 歪みは領域 $ \big| (2n_0+1)w + 2n_0 \big| < 1 $ で発生し、ここで $ n_0 = n + 1/2 $ であり、これは $ w $-平面上の複素ディスクを定義する。
• $ T(\beta,0)\rho_0 $ に対しては $ \braket{q^2}\braket{p^2} = \bar{h}^2/4 $ であり、コherent状態が最小不確定性状態であることを確認する。
• マンデルのパラメータは $ Q(\beta,w) = \frac{(4n_0^2+3)|w|^2 + 4n_0|\beta\bar{w}+\bar{\beta}|^2(1-|w|^2)}{2n_0(1-|w|^4) + (2|\beta|^2-1)(1-|w|^2)^2} - 1 $ であり、$ Q=0 $ は $ n_0=0 $ または $ |\beta|=1/\bar{\rho} $ のとき成立する。
• $ T(0,w)\rho_n $ に対しては、$ |w|^2 = \frac{1}{2(2n_0+1)}\big( \big(16n_0^4 + 24n_0^2 - 3\big)^{1/2} - 4n_0^2 - 1 \big) $ のとき $ Q=0 $ となり、特定の $ w $ においてポアソン統計を示す。