[論文レビュー] Applications of time-delayed backward stochastic differential equations to pricing, hedging and management of financial and insurance risks

Łukasz Delong|arXiv (Cornell University)|May 24, 2010

Stochastic processes and financial applications被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、資本保護型投資や変額年金など、負債が過去のポートフォリオ価値や戦略に依存する金融・保険問題をモデル化するために、時遅れ付き後向き確率微分方程式（BSDE）を導入する。これらの方程式に対して明示的解または数値的解法戦略を提供し、解の非一意性や非存在の金融的解釈も説明する。

ABSTRACT

In this paper we investigate novel applications of a new class of equations which we call time-delayed backward stochastic differential equations. Time-delayed BSDEs may arise in finance when we want to find an investment strategy and an investment portfolio which should replicate a liability or meet a target depending on the applied strategy or the past values of the portfolio. In this setting, a managed investment portfolio serves simultaneously as the underlying security on which the liability/target is contingent and as a replicating portfolio for that liability/target. This is usually the case for capital-protected investments and performance-linked pay-offs. We give examples of pricing, hedging and portfolio management problems (asset-liability management problems) which could be investigated in the framework of time-delayed BSDEs. Our motivation comes from life insurance and we focus on participating contracts and variable annuities. We derive the corresponding time-delayed BSDEs and solve them explicitly or at least provide hints how to solve them numerically. We give a financial interpretation of the theoretical fact that a time-delayed BSDE may not have a solution or may have multiple solutions.

研究の動機と目的

• 資本保護型商品やパフォーマンス連動型報酬など、負債が過去のポートフォリオのパフォーマンスや戦略に依存する金融・保険問題に対処すること。
• 生命保険の文脈における資産負債管理に、時遅れ付きBSDEを用いた数学的枠組みを構築すること。
• 参加型契約や変額年金に生じる時遅れ付きBSDEに対して、明示的または数値的に取り扱いやすい解を提供すること。
• 時遅れ付きBSDEにおける解の非存在または複数解の金融的意味を解釈すること。これは、この種の方程式における理論的課題である。

提案手法

• 解および制御過程の過去値に依存する生成子と終端条件を持つ時遅れ付きBSDEを定式化すること。
• 状態変数および制御変数に遅れが存在する設定に、後向き確率微分方程式の理論を適用すること。
• 参加型契約の文脈における線形時遅れ付きBSDEの具体例に対して、明示的解を導出すること。
• 閉形式解が得られない場合のための数値的解法戦略を提示すること。
• 適切な仮定の下でマルコフ構造とマルティングルール表現を用いて方程式の解析と解法を実施すること。
• 方程式の数学的性質（存在性・一意性）を、現実の金融・保険リスク管理問題と関連付けること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時遅れ付きBSDEは、資本保護型投資における価格設定とヘッジ問題をどのようにモデル化・解決できるか？
• RQ2 時遅れ付きBSDEにおける解の非存在または複数解の数学的・金融的影響は何か？
• RQ3 時遅れ付きBSDEは、参加型生命保険契約や変額年金におけるリスク管理にどのように応用できるか？
• RQ4 パフォーマンス連動型報酬の文脈における時遅れ付きBSDEの明示的解形は何か？
• RQ5 ポートフォリオまたは戦略の過去値は、時遅れ枠組みにおけるレプリケーション戦略および負債価格設定にどのように影響するか？

主な発見

• 時遅れ付きBSDEは、変額年金や参加型契約のように、負債がポートフォリオまたは戦略の履歴に依存する金融商品をモデル化する自然な枠組みを提供する。
• 線形時遅れ付きBSDEなどの特定ケースに対して明示的解が得られ、構造化金融商品における直接的な価格設定とヘッジを可能にする。
• 閉形式解が得られない場合のための数値的手法が提案され、実用的応用性が保証される。
• 本稿は、時遅れ付きBSDEにおける解の非存在または複数解が、ポートフォリオ管理における金融的不安定性や経路依存的リスク暴露に対応することを説明する。
• 解の多値性の金融的解釈により、遅れによる依存性に起因して複数のヘッジ戦略が存在しうることを明らかにし、市場の不完全性や戦略的経路依存性を反映している。
• 本フレームワークにより、ポートフォリオを基礎資産としても、ヘッジ手段としても扱う統合的アプローチが可能になる。