[論文レビュー] Applied Type System: An Approach to Practical Programming with Theorem-Proving

Hongwei Xi|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2017

Logic, programming, and type systems参考文献 20被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、静的型推論と動的プログラム実行を分離することで、従属型を用いた実用的プログラミングを可能にする形式的枠組みであるApplied Type System (ATS)を紹介する。静的（型形成）と動的（プログラム評価）を分離することにより、明示的な証明構築を通じて定理証明を可能にし、型安全性を保証するとともに、証明消去を用いた制約解決を実現する。また、コア型システムへの翻訳による正しさの形式的証明が行われる。

ABSTRACT

The framework Pure Type System (PTS) offers a simple and general approach to designing and formalizing type systems. However, in the presence of dependent types, there often exist certain acute problems that make it difficult for PTS to directly accommodate many common realistic programming features such as general recursion, recursive types, effects (e.g., exceptions, references, input/output), etc. In this paper, Applied Type System (ATS) is presented as a framework for designing and formalizing type systems in support of practical programming with advanced types (including dependent types). In particular, it is demonstrated that ATS can readily accommodate a paradigm referred to as programming with theorem-proving (PwTP) in which programs and proofs are constructed in a syntactically intertwined manner, yielding a practical approach to internalizing constraint-solving needed during type-checking. The key salient feature of ATS lies in a complete separation between statics, where types are formed and reasoned about, and dynamics, where programs are constructed and evaluated. With this separation, it is no longer possible for a program to occur in a type as is otherwise allowed in PTS. The paper contains not only a formal development of ATS but also some examples taken from ats-lang.org, a programming language with a type system rooted in ATS, in support of employing ATS as a framework to formulate advanced type systems for practical programming.

研究の動機と目的

• 従属型下で一般再帰、効果、再帰的型といった現実的プログラミング機能をサポートできないPure Type Systems (PTS)の制限を解消すること。
• 特に従属型とガーディッド型を扱える、高度な型を用いた実用的プログラミングを支援する枠組みを形式化すること。
• 証明が明示的に構築されるプログラミングと定理証明（PwTP）のための型理論的基盤を確立すること。
• 証明消去が動的意味論を保ちながら型安全性を確保できることを示すこと、特に効果が存在する状況下でも同様であることを示すこと。
• 従属型MLおよびガーディッド再帰的データ型に関する先行研究を統合・拡張し、単一で表現力豊かな型システム枠組みとして構築すること。

提案手法

• 静的（型形成と推論）と動的（プログラム構築と評価）の完全な分離を導入し、型にプログラムを含めないことを禁止する。
• 2つのコア型形式を定義する：ガーディッド型（不変条件のエンコード、例えば事前・事後条件）とアサーション型（証明レベルの制約）。
• 最小限のコアシステム $\mbox{ATS}_{0}$ を形式化し、その型安全性を証明する。
• $\mbox{ATS}_{0}$ を $\mbox{ATS}_{\it pf}$ に拡張し、証明が明示的に構築されるプログラミング（PwTP）をサポートする。
• 証明消去翻訳を用いて、型検査に合格した $\mbox{ATS}_{\it pf}$ プログラムを、同じ動的意味論を持つ $\mbox{ATS}_{0}$ プログラムに変換する。
• PwTPの正しさを形式的に確立する：証明消去後に $\mbox{ATS}_{\it pf}$ で型検査に合格したプログラムは、$\mbox{ATS}_{0}$ でも型検査に合格することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 型システムは、リファレンスや例外といった効果を伴う状況下でも、従属型を用いた実用的プログラミングをどのようにサポートできるか？
• RQ2 プログラムと証明が構文的に混合されても型安全性を損なわないような形式的メカニズムは何か？
• RQ3 証明消去をどのように形式的に正当化できるか？ これにより動的意味論が保たれるとともに型安全性が確保される。
• RQ4 静的と動的を分離することで、従属型システムにおけるプログラムの純粋な推論の必要性がどのように排除されるか？
• RQ5 ガーディッド型とアサーション型を用いて、型システム内でプログラムの不変条件をどのように表現・強制できるか？

主な発見

• ATSにおける静的と動的な分離により、従属型システムにおけるプログラムの純粋な推論の必要性が排除され、効果や一般再帰の実用的サポートが可能になる。
• 枠組み $\mbox{ATS}_{0}$ は形式的に型安全性が証明されており、高度な型システムの堅固な基盤を提供する。
• $\mbox{ATS}_{\it pf}$ の拡張により、証明が使用されて型検査中に制約解決を内蔵化するプログラミング（PwTP）が可能になる。
• 証明消去は形式的に正当化されている：$\mbox{ATS}_{\it pf}$ で型検査に合格したすべてのプログラムは、同じ動的振る舞いを持つ $\mbox{ATS}_{0}$ プログラムに変換可能である。
• ガーディッド型とアサーション型の使用により、ホア論理における事前・事後条件と同様に、プログラムの不変条件を正確に指定可能になる。
• ATSは、従属型MLおよびガーディッド再帰的データ型に関する先行研究を統合・拡張し、単一で表現力豊かかつ形式的根拠を持つ型システム枠組みを提供する。