[論文レビュー] Applying Predicate Detection to the Constrained Optimization Problems

Vijay K. Garg|arXiv (Cornell University)|Dec 26, 2018

Game Theory and Voting Systems参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、可能な解空間を分配的ラティスとしてモデル化することにより、制約付き組合せ最適化問題を解く統一的なラティス線形述語検出フレームワークを導入する。安定結婚問題、最短経路問題、市場清算価格問題といった問題を、ラティス上の述語検出として定式化することで、Gale-Shapley法、Dijkstra法、Demange-Gale-Sotomayor法といった古典的アルゴリズムを特別なケースとして導出し、ラティス線形制約を扱えるように一般化し、制約付き最適解の効率的かつ構成的な並列列挙を可能にする。

ABSTRACT

We present a method to design parallel algorithms for constrained combinatorial optimization problems. Our method solves and generalizes many classical combinatorial optimization problems including the stable marriage problem, the shortest path problem and the market clearing price problem. These three problems are solved in the literature using Gale-Shapley algorithm, Dijkstra's algorithm, and Demange, Gale, Sotomayor algorithm. Our method solves all these problems by casting them as searching for an element that satisfies an appropriate predicate in a distributive lattice. Moreover, it solves generalizations of all these problems - namely finding the optimal solution satisfying additional constraints called {\em lattice-linear} predicates. For stable marriage problems, an example of such a constraint is that Peter's regret is less than that of Paul. For shortest path problems, an example of such a constraint is that cost of reaching vertex $v_1$ is at least the cost of reaching vertex $v_2$. For the market clearing price problem, an example of such a constraint is that $item_1$ is priced at least as much as $item_2$. In addition to finding the optimal solution, our method is useful in enumerating all constrained stable matchings, and all constrained market clearing price vectors.

研究の動機と目的

• 安定結婚問題、最短経路問題、市場清算価格問題といった基本的な組合せ最適化問題を、同一のアルゴリズム枠組みで統一的に解くこと。
• 追加の制約をラティス線形述語としてモデル化することで、古典的アルゴリズムを一般化すること。
• 制約付き設定における最適解の効率的かつ並列的・分散的計算を可能にすること。
• 制約付き安定マッチングおよび市場清算価格ベクトルを構成的に列挙する手法を提供すること。
• 制約付き解空間における部分ラティス構造および結合的不可約要素の表現に関する理論的基盤を確立すること。

提案手法

• 各問題の解空間を、各ベクトルが割り当て（例：男性・女性のペairリング、ノードのコスト、商品の価格）を表すn次元ベクトルからなる分配的ラティスとしてモデル化する。
• 与えられたベクトルが問題固有の制約を満たすかをチェックするブール妥当性述語Bを定義する（例：ブロッキングペアが存在しないこと、有効な木構造であること、市場が清算されること）。
• 妥当性述語Bがラティス線形であることを証明し、ラティスの下部から単調に進展する検索が可能であることを示す。
• ラティス線形述語検出アルゴリズムを用いて、下界（最適）な妥当解を特定する。これは、男性最適安定マッチング、最短経路、最小市場清算価格に対応する。
• 各結合的不可約要素のスライスを計算することで、制約付き解をすべて列挙するように拡張する。これには双対ラティス線形述語と構成的Birkhoffの定理を用いる。
• 各辺eに対して、B_e(G) ≡ B(G) ∧ (e ∈ G)を満たすラティス線形述語検出手順を用いて、妥当部分ラティスのスライスを構成的に計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 同一のアルゴリズム枠組みが、安定結婚問題、最短経路問題、市場清算価格問題といった古典的組合せ最適化問題を解き、一般化できるか？
• RQ2 ラティス線形述語を用いて、これらの問題に追加の制約をモデル化しながら、アルゴリズムの効率を保てるか？
• RQ3 妥当解のラティス構造を活用することで、Gale-Shapley法、Dijkstra法といった既知のアルゴリズムを特別なケースとして導出できるか？
• RQ4 ラティス理論的手法を用いて、制約付き安定マッチングおよび市場清算価格ベクトルを構成的に列挙できるか？
• RQ5 双対ラティス線形述語および逆禁止状態は、後退探索および部分ラティスの特徴付けにどのように寄与するか？

主な発見

• 制約が存在しない場合、ラティス線形述語検出アルゴリズムはGale-Shapley法、Dijkstra法、Demange-Gale-Sotomayor法を特別なケースとして一般化・導出する。
• ラティス構造と下部要素からの単調な進展を活用することで、最適解の効率的並列計算が可能になる。
• すべての制約付き安定マッチングの集合は、有限の分配的ラティスを形成し、その結合的不可約要素のposet（順序集合）によって表現可能（「スライス」として）。
• グラフの各辺に対して、ラティス線形述語検出問題を逐次解くことで、スライスを構成的に計算できる。
• 制約付き安定マッチングの妥当性述語は、ラティス線形かつ後件ラティス線形であることが保証され、妥当集合が結合に関して閉じており、部分ラティスを形成することが保証される。
• 価格が整数の場合、スライス構成により、すべての制約付き市場清算価格ベクトルを簡潔かつ多項式時間で表現可能となる。