[論文レビュー] Applying the Fokker--Planck equation to grating-based x-ray phase and dark-field imaging

Kaye S. Morgan, David M. Paganin|arXiv (Cornell University)|Aug 4, 2019

Advanced X-ray Imaging Techniques参考文献 62被引用数 40

ひとこと要約

本論文では、グレーティングベースX線位相およびダークフィールドイメージングにおけるドリフト（位相信号）と拡散（ダークフィールド信号）をモデル化するために、フォッカー・プランク方程式の有限差分形式を適用し、吸収、位相、ダークフィールド信号の間のクロストークを明らかにした。この手法は、エッジに起因する境界回折波やレンズ効果を含むビームレット伝搬の包括的数学的枠組みを提供し、マルチコントラストX線イメージングにおける逆問題の解法の基盤を築く。

ABSTRACT

X-ray imaging has conventionally relied upon attenuation to provide contrast. In recent years, two complementary modalities have been added; phase contrast and dark-field x-ray imaging, capturing weakly attenuating and sub-pixel sample structures respectively. These three modalities can be accessed using a crystal analyser, a grating interferometer or by looking at a directly-resolved grid, grating or speckle pattern. Grating and grid-based methods extract a differential phase signal by measuring how far a feature in the illumination has been shifted transversely due to the presence of a sample. The dark-field signal is extracted by measuring how the visibility of the structured illumination is decreased, typically due to the presence of sub-pixel structures in a sample. The strength of the dark-field signal may depend on the grating period, the pixel size and the set-up distances, and additional dark-field signal contributions may be seen as a result of strong phase effects or other factors. In this paper we show that the finite-difference form of the Fokker--Planck Equation can be applied to describe the drift (phase signal) and diffusion (dark-field signal) of the periodic or structured illumination used in phase contrast x-ray imaging with gratings, in order to better understand any cross-talk between attenuation, phase and dark-field x-ray signals. In future work, this mathematical description could be used as a basis for new approaches to the inverse problem of recovering both phase and dark-field information.

研究の動機と目的

• グレーティングベースX線イメージングにおける位相コントラストとダークフィールド信号の相互作用を理解するための統一的数学的枠組みを構築すること。
• Fokker–Planck方程式を用いて、波面の進化から生じる試料によるビームレットのドリフト（位相）および拡散（ダークフィールド）をモデル化すること。
• 特にエッジ付近および焦点化効果に起因する、位相、ダークフィールド、吸収信号の間のクロストーク効果を調査すること。
• 実際のイメージング要因、例えば光源の大きさ、多色性、検出器の解像度を含むように、Fokker–Planckモデルを拡張すること。
• 将来の位相とダークフィールド情報を同時に回復する逆問題の解法の理論的基盤を提供すること。

提案手法

• X線ビームレットの確率密度関数の時間的変化を記述する2次元確率過程としてFokker–Planck方程式を定式化する。
• Fokker–Planck方程式の有限差分形式を用いて、位相勾配および散乱に起因する横方向ビームレットシフト（ドリフト、D1）と拡散（拡散、D2）をモデル化する。
• さまざまな試料条件の下でFokker–Planck方程式を解き、下流の検出器面上の強度分布の解析的表現を導出する。
• 境界回折波（ヤング–マギ–ルビノヴィッツ波）を源としてモデル化することで、物体のエッジ付近でのダークフィールド信号の増強を組み込む。
• 試料を薄レンズとして扱い、Fokker–Planck方程式に位置依存のドリフトおよび拡散項を導入することで、レンズ効果をモデル化する。
• 実用的イメージング要因を含むようにモデルを拡張する：検出器ピクセルサイズ（ガウス畳み込みによる）、拡大光源（光源平均化または追加の拡散項による）、多色照明（スペクトル積分による）。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Fokker–Planck方程式は、グレーティングベースX線イメージングにおける位相信号とダークフィールド信号の同時進化をどのようにモデル化できるか？
• RQ2 物体のエッジ付近でのダークフィールド信号の増強の原因は何か、そしてFokker–Planck枠組み内でどのように捉えられるか？
• RQ3 試料に起因するレンズ効果は、ビームレットの確率密度関数のドリフトおよび拡散成分にどのように影響を与えるか？
• RQ4 光源の大きさ、多色性、検出器解像度は、測定された位相およびダークフィールド信号にどの程度影響を及ぼし、それらをどのようにモデル化できるか？
• RQ5 Fokker–Planckモデルは、単一グリッドおよび干渉計的イメージング設定の両方に一般化可能か？

主な発見

• Fokker–Planck方程式は、グレーティングベースX線イメージングにおける位相（ドリフト）およびダークフィールド（拡散）信号を、ビームレット伝搬の確率過程として成功裏にモデル化した。
• エッジに起因するダークフィールド信号の増強は、境界回折波の寄与によって説明され、標準的な散乱モデルでは捉えきれない局所的拡散項として追加される。
• 試料に起因するレンズ効果は、位置依存のドリフトおよび拡散を引き起こし、Fokker–Planck方程式に空間的に変化する係数としてモデル化可能である。
• モデルは実用的イメージング制限要因を考慮している：検出器ピクセルサイズは畳み込みにより可視度を低下させ、拡大光源は追加の拡散項によりブラーをモデル化し、多色照明はスペクトル積分により処理される。
• この枠組みは、単一グリッド、スパッツルトラッキング、干渉計的イメージングモダリティを1つの確率的モデルに統合する一貫した数学的記述を提供する。
• 本手法は、測定された強度分布から位相およびダークフィールド情報を同時に回復可能にするため、マルチコントラストX線イメージングにおける逆問題の解法の基盤を提供する。