[論文レビュー] Approach to thermal equilibrium in harmonic crystals with polyatomic lattice

Vitaly A. Kuzkin|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2018

Thermal properties of materials参考文献 55被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、多原子格子を有する無限調和結晶における熱的平衡への到達プロセスを調査し、単位格子内の異なる自由度における時間に依存する運動温度の挙動に注目する。格子力学方程式の正確な解を用いて、運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの間、および自由度間でのエネルギー再分配によって引き起こされる温度振動の解析的公式を導出し、最終的な平衡温度が初期条件に依存することを示す非等分配定理を提示する。

ABSTRACT

We study transient thermal processes in infinite harmonic crystals with complex (polyatomic) lattice. Initially particles have zero displacements and random velocities such that distribution of temperature is spatially uniform. Initial kinetic and potential energies are different and therefore the system is far from thermal equilibrium. Time evolution of kinetic temperatures, corresponding to different degrees of freedom of the unit cell, is investigated. It is shown that the temperatures oscillate in time and tend to generally different equilibrium values. The oscillations are caused by two physical processes: equilibration of kinetic and potential energies and redistribution of temperature among degrees of freedom of the unit cell. An exact formula describing these oscillations is obtained. At large times, a crystal approaches thermal equilibrium, i.e. a state in which the temperatures are constant in time. A relation between equilibrium values of the temperatures and initial conditions is derived. This relation is refereed to as the non-equipartition theorem. For illustration, transient thermal processes in a diatomic chain and graphene lattice are considered. Analytical results are supported by numerical solution of lattice dynamics equations. ${\bf Keywords}$: thermal equilibrium; stationary state; approach to equilibrium; polyatomic lattice; complex lattice; kinetic temperature; harmonic crystal; transient processes; equipartition theorem; temperature matrix.

研究の動機と目的

• 複雑（多原子）格子を有する無限調和結晶における一時的熱的プロセスを理解すること。
• 単位格子内の異なる自由度に関連する運動温度の時間発展を分析すること。
• 平衡温度と初期条件との間の理論的関係を導出し、非等分配定理に至ること。
• 非平衡状態に大きくずれた系における熱的平衡への到達を、解析的および数値的手段で検証すること。
• 等分配原理を越えて、運動エネルギー－ポテンシャルエネルギー間および自由度間のエネルギー再分配プロセスの理解を拡張すること。

提案手法

• 任意の近接原子間相互作用と調和的局所ポテンシャルを有する多原子格子を記述するため、単位格子の運動方程式を行列形式で定式化する。
• 格子力学方程式の正確な解を用いて、各自由度の運動温度の時間発展を計算する。
• 運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの間のエネルギー均衡と、自由度間の温度再分配という二つの物理的過程に起因する、運動温度の周期的挙動を記述する正確な解析的式を導出する。
• 共分散に基づく形式を用いて温度行列の時間発展を記述し、平衡値の導出を可能にする。
• ハミルトニアン行列のトレースおよび歪み成分の保存則を用いた一般化ハミルトニアン形式を適用し、エネルギー分配にかかる制約を導出する。
• ダイアトミック鎖およびグラフェン格子の格子力学方程式の数値的解法により検証を行い、解析的予測と一致することを確認した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 調和結晶内の多原子単位格子における、異なる自由度に関連する運動温度は、時間とともにどのように変化するか？
• RQ2 熱的平衡への到達過程における運動温度の周期的挙動を引き起こす物理的メカニズムは何か？
• RQ3 初期状態での運動エネルギーとポテンシャルエネルギーが不等である場合、運動温度の最終的平衡値はどのように決定されるか？
• RQ4 系の初期状態は、自由度間の温度分布の長期的挙動にどのように影響を与えるか？
• RQ5 複雑な格子を有する調和結晶において、平衡温度と初期条件との関係を示す非等分配定理を導出可能か？

主な発見

• 単位格子内の異なる自由度における運動温度は、時間とともに減衰振動を示し、最終的に異なる平衡値に収束する。
• 振動は、運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの間のエネルギー均衡と、自由度間の温度再分配という二つの競合的プロセスに起因する。
• 時間発展における温度行列の正確な解析的公式が導出され、周期的挙動と緩和ダイナミクスの両方を捉えている。
• 非等分配定理が確立され、平衡温度が初期条件に依存し、一般に自由度間で不等しくなることが示された。
• ダイアトミック鎖およびグラフェンにおいて、格子力学方程式の数値的解法により、解析的予測（振幅および周波数を含む）が確認された。
• 最終的な平衡状態は、空間的および時間的に一様な温度を持つことが特徴であり、初期状態のエネルギー分布の不均一性にもかかわらず、熱的平衡と整合的である。