[論文レビュー] Approaches for enumerating permutations with a prescribed number of occurrences of patterns

Brian Nakamura|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2013

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 18被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、132、1432、2341などの非増加パターンおよび複数パターンと逆転の指定された出現回数を持つ置換の数を数えるために、関数方程式に基づく列挙技法を拡張する。カタログ的生成関数を用いた多項式時間アルゴリズムを導入し、計算のためのMapleパッケージを提供することで、従来は取り扱いが困難であった置換クラスの正確なパターン数の列挙を可能にする。

ABSTRACT

In recent work, Zeilberger and the author used a functional equations approach for enumerating permutations with r occurrences of the pattern 12...k. In particular, the approach yielded a polynomial-time enumeration algorithm for any fixed nonnegative r. We extend that approach to patterns of the form 12...(k-2)(k)(k-1) by deriving analogous functional equations and using them to develop similar algorithms that enumerate permutations with r occurrences of the pattern. We also generalize those techniques to handle patterns of the form 23...k1 and derive analogous functional equations and enumeration algorithms. Finally, we show how the functional equations and algorithms can be modified to track inversions as well as handle multiple patterns simultaneously. This paper is accompanied by Maple packages that implement the algorithms described.

研究の動機と目的

• 増加パターン（12...k）に対する関数方程式アプローチを、132 や 1432 などの非増加パターンへ一般化すること。
• 固定された r 回の出現をもつ与えられたパターンについて、効率的で多項式時間のアルゴリズムを構築すること、r > 1 の場合にも対応可能であること。
• 置換における複数パターンおよび逆転を同時に追跡する方法を拡張すること。
• 実用的な計算と列挙のため、アルゴリズムをMapleパッケージに実装すること。

提案手法

• 置換におけるパターン出現回数と逆転数を追跡するため、カタログ的変数を用いて関数方程式を導出する。
• 左および右の逆転寄与を符号化するため、変数 x_i と y_i を用いた重み付き生成関数を導入する。
• [14] の再帰構造を、12...(k-2)k(k-1) や 23...k1 のようなパターンに対応させるために、挿入規則を変更して適応する。
• 関数方程式を用いて、固定された r およびパターン τ に対して s_n(τ,r) を効率的に計算する再帰的アルゴリズムを構築する。
• F123n132, F2341, FS3 などの例を含む、自動列挙のためのMapleパッケージにアルゴリズムを実装する。
• 複数の関数方程式を組み合わせ、すべての長さ3パターンを同時に追跡し、多変数生成関数を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 増加パターンに用いられた関数方程式アプローチを、132 や 1432 などの非単調パターンへ拡張可能か？
• RQ2 r ≥ 2 であっても、パターン τ に対して正確に r 回の出現をもつ置換を数える多項式時間アルゴリズムを開発可能か？
• RQ3 この手法を、置換における複数パターンおよび逆転を同時に追跡するように一般化可能か？
• RQ4 123 や 132 のような固定出現回数の置換の生成関数を記述する関数方程式は何か？
• RQ5 得られたアルゴリズムが、P-再帰的または閉形式の表現を推測できる十分な項を生成可能か？

主な発見

• 本稿は、12...(k-2)k(k-1) や 23...k1 のようなパターン（1432 を含む）に対し、関数方程式手法を成功裏に拡張した。これは、従来の手法では取り扱いが困難であった。
• 任意の固定された r ≥ 0 および新しいパターン族に対して、s_n(τ,r) を計算する多項式時間アルゴリズムを開発した。
• Mapleパッケージ F123n132 は、123 と 132 の出現回数がそれぞれ r 回の置換の列挙を可能にし、n=15 までの一例を示している。
• パッケージ FS3 は、長さ3のすべての6つのパターンを n=11 まで同時に追跡し、展開された項が450MBのファイルを生成している。
• 経験的証拠により、123 が r 回、132 が s 回出現する置換の数が、n ≥ r+s+1 に対して p(n)2^n の形であると推測される。ここで p(n) は次数 r+s の多項式である。
• 本手法により、新しい予想を導く列挙が可能となり、例えば小さな r,s に対して c_r,s(n) がP-再帰的である可能性や、より深い構造的性質を調査するためのツールを提供する。