[論文レビュー] Approaches to analysis with infinitesimals following Robinson, Nelson, and others

Peter Fletcher, Karel Hrbáček+4 more|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2017

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 142被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、ロビンソンの非標準解析、ネルソンの内部集合論、および関連フレームワークに根ざした無限小の基礎的アプローチを網羅的に調査し、解析学、物理学、基礎数学におけるその有用性を示している。無限小を数学教育および研究における標準的ツールとして統合すべきであると主張し、ルベーグ測度、微分幾学、および量子にインspiredされたモデル化への応用を強調している。

ABSTRACT

This is a survey of several approaches to the framework for working with infinitesimals and infinite numbers, originally developed by Abraham Robinson in the 1960s, and their constructive engagement with the Cantor-Dedekind postulate and the Intended Interpretation hypothesis. We highlight some applications including (1) Loeb's approach to the Lebesgue measure, (2) a radically elementary approach to the vibrating string, (3) true infinitesimal differential geometry. We explore the relation of Robinson's and related frameworks to the multiverse view as developed by Hamkins. Keywords: axiomatisations, infinitesimal, nonstandard analysis, ultraproducts, superstructure, set-theoretic foundations, multiverse, naive integers, intuitionism, soritical properties, ideal elements, protozoa.

研究の動機と目的

• ロビンソンの非標準解析とネルソンの内部集合論を含む、無限小の基礎的アプローチを包括的に調査すること。
• 古典的ε-δ解析と微積分および物理学における直感的な無限小の使用との間の歴史的・哲学的緊張を扱うこと。
• 実用的および基礎的利点を踏まえて、無限小的手法を主流の数学的教育および研究に統合すべきだと主張すること。
• 無限小フレームワークと、集合論におけるマルチバース的視点や量子にインスパイアされた物理的モデリングといった、より広範な基礎的視点との関係を探ること。
• 非標準解析の構成的および公理的基盤、特に移行原理、飽和性、および超フィルターの役割を検討すること。

提案手法

• 超冪構成を用いて実数の非標準的モデルを構築し、標準解析を無限小および無限大数を含むより豊かな構造に埋め込む。
• 移行原理を適用して一階論理的性質を標準的モデルから非標準的モデルへ拡張し、論理的整合性と解釈可能性を保証する。
• 超構造フレームワークを用いて非標準解析を集合論的基礎に形式化し、超有限近似を介してローブ測度の構成を可能にする。
• BST（バーナンスタイン–ロビンソン–サハロン）の公理的体系とネルソンのIST（内部集合論）を導入・分析し、標準的および非標準的要素を区別する役割を強調する。
• 極めて基本的な手法を用いて、超有限離散近似を用いて振動する弦やブラウン運動といった物理的系をモデル化する。
• 比喩（例：「原生動物」比喩）や「カントール–デデキンド＋意図された解釈」のマインドセットに対する批判を通じて、哲学的・基礎的論争に参加する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限小的手法を、厳密性を損なわせることなく、解析の基礎的枠組みに体系的に統合する方法は何か？
• RQ2 ロビンソンの非標準解析、ネルソンの内部集合論、および他の現代的無限小的アプローチとの主な相違点と関係は何か？
• RQ3 無限小フレームワークは、測度論、微分幾学、物理学における古典的結果をどのように改善または明確化するか？
• RQ4 『素朴な整数』と『理想の侵入者』の概念は、自然数の古典的概念をどのように挑戦し、より豊かな算術的構造を支持するか？
• RQ5 無限小的推論は、直観的集合論的および量子にインスパイアされた数学的直観とどの程度調和できるか？

主な発見

• ローブによる超有限分割を用いたルベーグ測度の構成は、古典的測度論に対する厳密で構成的な代替手段を提供する。
• 振動する弦および超有限ブラウン運動の極めて基本的なモデル化は、物理的系が離散的・無限小スケールの近似によって正確にモデル化できることを示している。
• ネルソンの内部集合論は、分離公理に反する述語を用いて標準的数と非標準的数を文法的に区別できることを可能にし、解析の新しい基礎を提供する。
• このフレームワークは、複数の非標準的モデルが共存する「マルチバース的」な集合論の視点を支持しており、ハミルトンの基礎的多様性のビジョンを反映している。
• 無限小的手法は、ジュネーブでの実装やケイラーの教科書を用いた400人以上の1年次学生への応用例から、学部および高校レベルでも効果的に教えられることを示している。
• 本論文は、無限小の拒否がε-δ法への優位性を示す、古くからある「意図された解釈」のマインドセットに起因しており、哲学的および数学的に制限的であると主張している。