[論文レビュー] Approaching $\frac{3}{2}$ for the $s$-$t$-path TSP

Vera Traub, Jens Vygen|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2017

Advanced Graph Theory Research参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、任意の固定された $\varepsilon > 0$ に対して $\frac{3}{2} + \varepsilon$ の近似比を達成する $s$-$t$-path TSP の多項式時間近似アルゴリズムを提示する。この目的を達成するために、孤独な狭いカットを動的に入れ替え、ビジーなカットに高い値を強制するようにLP緩和を強化し、$T$-join多面体におけるスパニングツリーとパリティ補正ベクトルを再帰的動的計画法によって計算する。

ABSTRACT

We show that there is a polynomial-time algorithm with approximation guarantee $\frac{3}{2}+ε$ for the $s$-$t$-path TSP, for any fixed $ε>0$. It is well known that Wolsey's analysis of Christofides' algorithm also works for the $s$-$t$-path TSP with its natural LP relaxation except for the narrow cuts (in which the LP solution has value less than two). A fixed optimum tour has either a single edge in a narrow cut (then call the edge and the cut lonely) or at least three (then call the cut busy). Our algorithm "guesses" (by dynamic programming) lonely cuts and edges. Then we partition the instance into smaller instances and strengthen the LP, requiring value at least three for busy cuts. By setting up a $k$-stage recursive dynamic program, we can compute a spanning tree $(V,S)$ and an LP solution $y$ such that $(\frac{1}{2}+O(2^{-k}))y$ is in the $T$-join polyhedron, where $T$ is the set of vertices whose degree in $S$ has the wrong parity.

研究の動機と目的

• $s$-$t$-path TSP におけるChristofidesのアルゴリズムの近似比 $\frac{5}{3}$ と、対称TSPにおける最適な $\frac{3}{2}$ の比の間のギャップを埋める。
• 特に、LP解において値が2未満の狭いカットを効果的に処理できる、従来の手法の制限を克服する新しいアプローチを開発する。
• 再帰的動的計画法とLP強化を組み合わせることで、$s$-$t$-path TSP に対して $\frac{3}{2}$ に限りなく近い近似比を達成する。
• 再帰的分割とカット固有の強化を用いることで、$s$-$t$-path TSP の自然なLP緩和の整数性ギャップを効果的に束縛できることを示す。

提案手法

• アルゴリズムは、孤独な狭いカットとエッジを予測する $k$ 階層の再帰的動的計画法を用いる。ここで、狭いカットとはLP値が2未塔のものであり、孤独なカットとは最適巡回路に丁度1本の辺を含むものである。
• グラフをより小さな部分インスタンスに分割し、ビジーなカット（最適巡回路に3本以上の辺を含むもの）に対しては、少なくとも値3を要求するようにLPを強化する。
• アルゴリズムはスパニングツリー $S^*$ とベクトル $y^*$ を計算し、$\left(\frac{1}{2} + O(2^{-k})\right)y^*$ が $T$-join多面体に属することを保証する。ここで $T$ は $S^*$ における奇数次数の頂点の集合であり、端点 $s$ と $t$ を調整したものを含む。
• 動的計画法は狭いカットの鎖を用い、パリティ補正ベクトル $\lambda_1 y^*$ がすべての $T$-join制約を満たすことを保証する。特に、孤独でないカットに対して重点を置く。
• 実行時間は $O\left(n^{6\lceil\log_2(1/\varepsilon)\rceil} \cdot p(n, \lceil\log_2(1/\varepsilon)\rceil)\right)$ で抑えられ、ここで $p(n,k)$ は $O(kn)$ 個の制約を持つLPを解く時間である。
• この手法は、明示的なLP解に依存せず、LP値と狭いカットの集合のみに依存するため、効率的な計算と再帰的精錬が可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 新しいアルゴリズム的枠組みを用いて、$s$-$t$-path TSP の近似比を $\frac{5}{3}$ を超えて改善できるか？
• RQ2 特にLP値が2未満の狭いカットを効果的に処理することで、整数性ギャップを低減できるか？
• RQ3 再帰的動的計画法とLP強化を用いて、$s$-$t$-path TSP に対して $\frac{3}{2}$ に限りなく近い近似比を達成できるか？
• RQ4 固定された $\varepsilon > 0$ に対して、$\left(\frac{3}{2} + \varepsilon\right)$-近似を達成するための計算量的複雑度は何か？
• RQ5 再帰的動的計画法は、多項式時間実行を保証しつつ、一定の近似比を維持できるように設計できるか？

主な発見

• アルゴリズムは、任意の固定された $\varepsilon > 0$ に対して多項式時間内に $\frac{3}{2} + \varepsilon$ の近似比を達成し、$s$-$t$-path TSP における従来の $\frac{5}{3}$ の境界を顕著に上回る。
• 再帰的動的計画法と戦略的LP強化を用いることで、$s$-$t$-path TSP の自然なLP緩和の整数性ギャップは $\frac{3}{2} + \varepsilon$ で束縛される。
• 任意の固定された $\varepsilon > 0$ に対して実行時間は多項式であり、具体的には $O\left(n^{6\lceil\log_2(1/\varepsilon)\rceil} \cdot p(n, \lceil\log_2(1/\varepsilon)\rceil)\right)$ で抑えられる。ここで $p(n,k)$ は $O(kn)$ 個の制約を持つLPを解く時間である。
• アルゴリズムは、計算されたパリティ補正ベクトル $\lambda_1 y^*$ が $T$-join多面体に属することを保証し、$T$-joinのコストが $c(y^*)$ 以下であることを保証する。
• 孤独なカットとビジーなカットという2つの問題となるカットタイプを、孤独なカットを予測し、ビジーなカットに対してLP制約で高い値を強制することで効果的に処理する。
• 明示的なLP解に依存せず、LP値と狭いカットの集合のみに依存するため、効率的な再帰的計算が可能であり、近似保証を維持できる。