[論文レビュー] Approximability and proof complexity

Ryan O’Donnell, Yuan Zhou|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2012

Complexity and Algorithms in Graphs被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、有界次数の和の平方（SOS）証明が、Devanurらの整数性ギャップインスタンスにおける良好なバランスカットの存在を否認し、Khot–Vishnoiのユニークゲーム構成から得られるMax-Cutインスタンスにおいて近似的に最適な解を効率的に証明できることを確立している。次数4のSOS証明は、Devanurらの整数性ギャップインスタンスにおいて良好なバランスカットが存在しないことを否認し、定数次数のSOS証明は、Khot–Vishnoiインスタンスにおいて真のMax-Cut最適値の95.2%以内の値を証明する。この証明は、KKL定理の新しいSOS証明に依拠している。

ABSTRACT

This work is concerned with the proof-complexity of certifying that optimization problems do \emph{not} have good solutions. Specifically we consider bounded-degree "Sum of Squares" (SOS) proofs, a powerful algebraic proof system introduced in 1999 by Grigoriev and Vorobjov. Work of Shor, Lasserre, and Parrilo shows that this proof system is automatizable using semidefinite programming (SDP), meaning that any $n$-variable degree-$d$ proof can be found in time $n^{O(d)}$. Furthermore, the SDP is dual to the well-known Lasserre SDP hierarchy, meaning that the "$d/2$-round Lasserre value" of an optimization problem is equal to the best bound provable using a degree-$d$ SOS proof. These ideas were exploited in a recent paper by Barak et al.\ (STOC 2012) which shows that the known "hard instances" for the Unique-Games problem are in fact solved close to optimally by a constant level of the Lasserre SDP hierarchy. We continue the study of the power of SOS proofs in the context of difficult optimization problems. In particular, we show that the Balanced-Separator integrality gap instances proposed by Devanur et al.\ can have their optimal value certified by a degree-4 SOS proof. The key ingredient is an SOS proof of the KKL Theorem. We also investigate the extent to which the Khot--Vishnoi Max-Cut integrality gap instances can have their optimum value certified by an SOS proof. We show they can be certified to within a factor .952 ($> .878$) using a constant-degree proof. These investigations also raise an interesting mathematical question: is there a constant-degree SOS proof of the Central Limit Theorem?

研究の動機と目的

• 最適化問題に良い解が存在しないことを証明するための有界次数の和の平方（SOS）証明の力を調査すること。
• Balanced-SeparatorおよびMax-Cutの既知の難問インスタンスが、効率的なSOS否認証明を許容するかどうかを特定すること。
• KKL定理が次数4のSOS証明を許容することを確立し、これにより整数性ギャップの証明が可能になること。
• Khot–Vishnoi Max-Cutインスタンスが、定数次数のSOS証明によってどの程度証明可能かを分析すること。
• 定数次数のSOS証明が中心極限定理に対して存在するかどうかという、より広範な数学的問題を検討すること。

提案手法

• LasserreのSDP階層と有界次数のSOS証明の双対性を活用して証明の強度を分析する。
• 新しいKKL定理のSOS証明を適用し、次数4のSOSを用いてBalanced-Separatorインスタンスの整数性ギャップを証明する。
• KKMO還元を用いてユニークゲームインスタンスをMax-Cutインスタンスに変換し、それらのSOS否認可能性を分析する。
• 期待されるラベル一致を用いた局所的整合性の議論により、値がε以上である部分的割り当てから次数dのSOS否認証明を導出する。
• 多項式恒等式と次数制限付きSOS推論を組み合わせて、SDP緩和における誤差項を制御する。
• 双対性と多項式不等式を用いて、Khot–Vishnoiインスタンスに対して次数Õ(1/δ²)のSOS否認証明を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 DevanurらのBalanced-Separatorの整数性ギャップインスタンスに対して、低次数のSOS証明を用いて良好な解が存在しないことを証明できるか？
• RQ2 KKL定理は有界次数のSOS証明を許容するか？そして、その証明が最適化問題における整数性ギャップの証明に利用可能か？
• RQ3 Khot–Vishnoi Max-Cutの整数性ギャップインスタンスは、定数次数のSOS証明によってどの程度証明可能か？
• RQ4 中心極限定理に対して定数次数のSOS証明が存在するか？その場合、証明複雑度にどのような意味があるか？
• RQ5 与えられたMax-Cutインスタンスの最適値が真の最適値からどれだけ離れているかを証明するために必要なSOS次数の最小値は何か？

主な発見

• 次数4のSOS証明は、DevanurらのBalanced-Separatorインスタンスの最適値が整数性ギャップを上回ることを証明でき、重要な未解決問題を解決する。
• KKL定理は次数4のSOS証明を許容し、これはBalanced-Separatorインスタンスの難易度証明に不可欠な役割を果たす。
• ρ₀ ≈ −0.689 のKhot–Vishnoi Max-Cutインスタンスに対して、定数次数のSOS SDPは最適値の95.2%以内の値を証明する。
• 一般のρ ∈ (−1, 0) に対して、次数O(1)のSOS SDPは最適値の93.1%以内の値を証明する。この係数は arccos(ρ)/π の式から導出される。
• 分数割り当ての値がε以上である場合、Khot–Vishnoiインスタンスに対して次数Õ(1/δ²)のSOS否認証明が存在し、誤差項は多項式恒等式によって制御される。
• 結果は、定数次数のSOS証明が中心極限定理現象を捉えるのに十分な強さを持つ可能性を示唆しており、中心極限定理に対する定数次数のSOS証明が存在するかという未解決の問題を提起する。