[論文レビュー] Approximability of all finite CSPs in the dynamic streaming setting

Chi-Ning Chou, Alexander Golovnev+2 more|arXiv (Cornell University)|May 3, 2021

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、動的ストリーミングモデルにおけるすべての有限制約充足問題（CSP）の近似可能性について二分法を確立し、任意の制約族 F および近似パラメータ γ > β に対して、問題が多項式対数時間空間で解けるか、それとも ω(√n) 空間を要するかの二択であることを示している。本研究は、従来のブールCSPに関する結果を、一般の有限ドメインおよび制約族へと拡張し、高度なノルム推定と新規の通信複雑性還元を用いている。

ABSTRACT

A constraint satisfaction problem (CSP), Max-CSP$({\cal F})$, is specified by a finite set of constraints ${\cal F} \subseteq \{[q]^k o \{0,1\}\}$ for positive integers $q$ and $k$. An instance of the problem on $n$ variables is given by $m$ applications of constraints from ${\cal F}$ to subsequences of the $n$ variables, and the goal is to find an assignment to the variables that satisfies the maximum number of constraints. In the $(\gamma,\beta)$-approximation version of the problem for parameters $0 \leq \beta < \gamma \leq 1$, the goal is to distinguish instances where at least $\gamma$ fraction of the constraints can be satisfied from instances where at most $\beta$ fraction of the constraints can be satisfied. In this work we consider the approximability of this problem in the context of streaming algorithms and give a dichotomy result in the dynamic setting, where constraints can be inserted or deleted. Specifically, for every family ${\cal F}$ and every $\beta < \gamma$, we show that either the approximation problem is solvable with polylogarithmic space in the dynamic setting, or not solvable with $o(\sqrt{n})$ space. We also establish tight inapproximability results for a broad subclass in the streaming insertion-only setting. Our work builds on, and significantly extends previous work by the authors who consider the special case of Boolean variables ($q=2$), singleton families ($|{\cal F}| = 1$) and where constraints may be placed on variables or their negations. Our framework extends non-trivially the previous work allowing us to appeal to richer norm estimation algorithms to get our algorithmic results. For our negative results we introduce new variants of the communication problems studied in the previous work, build new reductions for these problems, and extend the technical parts of previous works.

研究の動機と目的

• 動的ストリーミングモデルにおけるすべての有限制約充足問題（CSP）の近似のための空間計算量を特定すること。
• 単一制約族に限ったブールCSPに関する先行研究を、一般の有限ドメインおよび任意の制約族へと拡張すること。
• 近似可能性を多項式対数時間空間で解けるか、Ω(√n) 空間で不可能なかの完全分類を確立すること。
• 挿入のみのストリーミングモデルにおける広範な部分クラスについて、タイトな近似不能性結果を提供すること。

提案手法

• 特定のCSP族における多項式対数時間空間近似を達成するため、豊富なノルム推定アルゴリズムに基づくフレームワークを開発する。
• ストリーミング設定における近似の難易度をモデル化するため、通信問題の新規変種を導入する。
• これらの通信問題からCSP近似への新規還元を構築し、従来の還元を一般CSPへと拡張する。
• 強い空間下限を証明するために、通信複雑性における高度な技術を用いる。
• 制約族の構造的性質を活用して、空間計算量に基づき、解けるか解けないかのカテゴリに分類する。
• ブール変数および単一族に関する先行結果を、任意の有限ドメインおよび一般制約集合へと拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の有限制約族 F および近似パラメータ γ > β に対して、動的ストリーミングモデルにおける Max-CSP(F) の (γ, β)-近似は多項式対数時間空間で解けるか？
• RQ2 動的設定におけるCSP近似において、多項式対数時間空間での解法可能性と ω(√n) 空間での非可能性の境界は、どのように特徴づけられるか？
• RQ3 挿入のみのストリーミングモデルにおける広範なCSP部分クラスについて、タイトな近似不能性結果を確立できるか？
• RQ4 ノルム推定技術は、ブールケースを越えて一般CSPのアルゴリズム的結果をサポートするためにどのように拡張できるか？
• RQ5 一般CSPのための強い下限を証明するために、どのような新規の通信複雑性問題と還元が必要か？

主な発見

• すべての制約族 F およびパラメータ β < γ に対して、動的ストリーミングモデルにおける Max-CSP(F) の (γ, β)-近似は、多項式対数時間空間で解けるか、ω(√n) 空間を要する。
• 本論文は完全な二分法を確立しており、この問題クラスにおいて、多項式対数時間空間と ω(√n) 空間の間の中間の空間計算量は存在しない。
• 挿入のみのストリーミングモデルにおける広範なCSP部分クラスについて、タイトな近似不能性結果が証明された。
• フレームワークは、単一族に限ったブールCSPに関する先行研究を、任意の有限ドメインおよび一般制約集合へと一般化した。
• 強力な下限を実現するため、新規の通信問題の変種と還元が導入され、従来の技術的制限を越えた拡張が可能になった。
• 結果は、ノルム推定技術がストリーミング環境における一般CSPのアルゴリズム的解決策を非自明にサポートできる可能性を示している。