[論文レビュー] Approximate Bayesian Computation and Model Validation for Repulsive Spatial Point Processes

Shinichiro Shirota, Alan E. Gelfand|arXiv (Cornell University)|Apr 24, 2016

Point processes and geometric inequalities被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、シミュレーションに基づく推論を用いて、ギブスおよび確定的点過程（DPP）を含む反発的空間点過程のフィッティングと妥当性評価を目的とした近似ベイズ計算（ABC）フレームワークを提案する。これらのモデルからのシミュレーションが容易であることと、$K$関数などの要約統計量を活用することで、ABCは、従来のMCMCに比べて計算効率が高く収束性に優れる、頑健なベイズ推論とモデル評価を可能にする。Duke Forestの木のデータセットを用いた実証により、ストライスおよびDPPモデルのフィットが向上したことが示された。

ABSTRACT

In many applications involving spatial point patterns, we find evidence of inhibition or repulsion. The most commonly used class of models for such settings are the Gibbs point processes. A recent alternative, at least to the statistical community, is the determinantal point process. Here, we examine model fitting and inference for both of these classes of processes in a Bayesian framework. While usual MCMC model fitting can be available, the algorithms are complex and are not always well behaved. We propose using approximate Bayesian computation (ABC) for such fitting. This approach becomes attractive because, though likelihoods are very challenging to work with for these processes, generation of realizations given parameter values is relatively straightforward. As a result, the ABC fitting approach is well-suited for these models. In addition, such simulation makes them well-suited for posterior predictive inference as well as for model assessment. We provide details for all of the above along with some simulation investigation and an illustrative analysis of a point pattern of tree data exhibiting repulsion. R-code and datasets are included in the supplementary material.

研究の動機と目的

• ギブスおよび確定的点過程（DPP）のような反発的空間点過程における尤度関数が計算不能であるという課題に対処すること。
• 尤度正規化定数が計算不能な複雑なMCMCアルゴリズムを回避する、一元的でシミュレーションに基づくベイズ推論手法（ABC）を構築すること。
• 事後予測シミュレーションとモンテカルロ検定を用いて、事後分布推定、モデルチェック、モデル比較を可能にすること。
• 特にDuke Forestの木のデータセットを用いた実空間データにおいて、本手法の有効性を示し、ポisson過程と比較してより優れたモデルフィットを達成すること。

提案手法

• ABC-MCMCを用いてベイズ推論を実施し、観測された要約統計量とシミュレートされた要約統計量との距離に基づいたパラメータの提案と棄却サンプリングを採用する。
• パラメータ値が与えられたもとで、ギブスおよびDPPモデルからの点パターンのシミュレーションを実施し、尤度の直接評価を回避する。
• 2次的性質を捉え、観測されたパターンとシミュレートされたパターンを比較するために、$K$関数や$L(r)-r$などの要約統計量を用いる。
• モンテカルロ検定を用いてモデルの適切さを評価し、$p$-値を用いて第二の特性を評価する。$s_r(\mathbf{y})$を用いて第二の特性を評価する。
• モデル性能を比較するために、サンプル内相対予測スコア（RPS）を用い、HPPを基準として用いる。
• ABCのチューニングには、距離分布の百分位数を用いて$\epsilon$を選択し、パイロットランを用いてABC-MCMCの初期化を効率的に行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ABCは、尤度関数が計算不能なギブスおよびDPPモデルにおけるMCMCの信頼性と計算効率に優れた代替手段を提供できるか？
• RQ2 要約統計量を用いて、ABCは、競合する反発的点過程モデル（例：ストライス対DPP）をどれほど正確に区別できるか？
• RQ3 ABCは、事後予測チェックと要約統計量の$p$-値を用いて、モデルの不適切さをどれほど効果的に検出できるか？
• RQ4 ストライス過程における異なるパrameter化と半径設定では、モデルフィットはどのように変化するか？
• RQ5 非ホモジニアスな反発的点過程に対して、非ホモジニアス$K$関数を用いて、ABCに基づく推論を拡張可能か？

主な発見

• シミュレーションスタディにおいて、ABC手法は真のモデル構造を的確に回復した。事後分布は真のパラメータ値の周辺に集中していた。
• Duke Forestのデータセットにおいて、$R=0.053$のストライス過程が最も良好なモデルフィットを示した。$r=0.03$では$p$-値が0.3574、$r=0.05$では0.3923であり、フィットの不適切さに有意な証拠はなかった。
• DPP-GおよびDPP-PEモデルは、$p$-値が約0.18～0.28の範囲にあり、妥当な性能を示したが、ストライスモデルほど優れてはいなかった。
• HPPは、小さな半径（$r=0.03, 0.05$）では$p$-値がそれぞれ0.0428および0.0130であったため、反発の強い証拠が得られ、棄却された。
• サンプル内RPS比は1.00に近かったが、$R=0.053$のストライスモデルが最も好ましい相対的性能を示し、より優れた予測精度を示した。
• ABC-MCMCアルゴリズムは、パイロットランの推定値で初期化された場合、バーンインなしで安定した収束を示し、計算効率が向上した。