[論文レビュー] Approximate Birkhoff-James orthogonality in the space of bounded linear operators

Kallol Paul, ‎Debmalya Sain+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2017

Advanced Banach Space Theory参考文献 11被引用数 21

ひとこと要約

本稿は、ノルム空間およびヒルバート空間上の有界線形作用素における近似バーキホフ・ジェイムズ直交性の2つの概念——⊥ǫ_D および ⊥ǫ_B——の完全な特徴付けを提供する。ノルム到達集合 MT を用いて、必要十分条件を確立し、従来の結果を無限次元ヒルバート空間および一般のノルム空間へ拡張する。主な結果として、MT が対称的でも連結でもない場合でも、T⊥ǫ_B A が成り立つのは、A を含む特定の二次不等式を満たす MT 内のベクトルが存在する場合に限ることを示している。

ABSTRACT

There are two notions of approximate Birkhoff-James orthogonality in a normed space. We characterize both the notions of approximate Birkhoff-James orthogonality in the space of bounded linear operators defined on a normed space. A complete characterization of approximate Birkhoff-James orthogonality in the space of bounded linear operators defined on Hilbert space of any dimension is obtained which improves on the recent result by Chmieli\'nski et al. [ J. Chmieli\'nski, T. Stypula and P. W\'ojcik, extit{Approximate orthogonality in normed spaces and its applications}, Linear Algebra and its Applications, extbf{531} (2017), 305--317.], in which they characterized approximate Birkhoff-James orthogonality of linear operators on finite dimensional Hilbert space and also of compact operators on any Hilbert space.

研究の動機と目的

• ノルム空間上の有界線形作用素における、2つの異なる近似バーキホフ・ジェイムズ直交性の概念——⊥ǫ_D および ⊥ǫ_B——を特徴付けること。
• 有限次元およびコンパクト作用素に関する従来の結果を、任意の次元の一般ヒルバート空間および反射的バナッハ空間へ拡張すること。
• 特にヒルバート空間上の作用素に対して、ノルム到達集合 MT を用いた近似直交性の必要十分条件を確立すること。
• ノルム到達集合が対称的でも連結でもない場合（例：D ∪ (−D)）を含む、統一的な枠組みを提供すること。
• 従来の結果に限界があったのを解消し、非コンパクトかつ非有限次元作用素、特に以前の推論の条件を満たさない作用素に対しても直交性を特徴付けること。

提案手法

• 直交性関係を特徴付ける中心的ツールとして、ノルム到達集合 MT = {x ∈ SX : ∥Tx∥ = ∥T∥} を用いる。
• 2つの近似直交性の定義を適用する：⊥ǫ_D（∥x + λy∥ ≥ √(1−ǫ²)∥x∥ に基づく）および ⊥ǫ_B（∥x + λy∥² ≥ ∥x∥² − 2ǫ∥x∥∥λy∥ に基づく）。
• λ ≥ 0 および λ ≤ 0 の場合の方向的挙動を定義するため、x+ および x−（およびその ǫ-変種 x+(ǫ) および x−(ǫ)）の概念を用いる。
• 反射的バナッハ空間上のコンパクト作用素に対しては、T⊥ǫ_D A が成り立つのは、ある特定の λ の区間で ∥T + λA∥ ≥ √(1−ǫ²)∥T∥ を満たすノルム到達ベクトルが存在する場合に限ることを証明する。
• ⊥ǫ_B の場合、二次不等式を用いて条件を導出する：λ ≥ 0 および λ ≤ 0 に対して ∥Tx + λAx∥² ≥ ∥T∥² − 2ǫ∥T∥∥λA∥ が成り立つこと。
• MT が空集合または非コンパクトである場合（特に一般ノルム空間において）を扱うために、∥Txn∥ → ∥T∥ を満たす列 {xn}、{yn} を用いた逐次近似を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界線形作用素 T が ⊥ǫ_D 定義のもとで A と近似バーキホフ・ジェイムズ直交性を満たす条件は何か？
• RQ2 ノルム到達集合 MT が対称的でも連結でもない場合、⊥ǫ_B 直交性はどのように特徴付けられるか？
• RQ3 有限次元およびコンパクト作用素に限らない近似直交性の特徴付けは、一般ヒルバート空間へ拡張可能か？
• RQ4 非コンパクト作用素に対して、ノルム到達集合 MT は近似直交性を決定づける役割を果たすか？
• RQ5 一般ノルム空間において、2つの異なる近似直交性の定義（⊥ǫ_D および ⊥ǫ_B）はどのように関係し、どのような条件下で一致するか？

主な発見

• X が反射的であるとき、T, A ∈ K(X, Y) に対して、T⊥ǫ_D A が成り立つのは、次のいずれかが成り立つ場合に限る：(a) ある x ∈ MT が存在し、Ax ∈ (Tx)+ かつ λ の特定の区間で ∥Txλ + λAxλ∥ ≥ √(1−ǫ²)∥T∥ を満たす。または (b) 同様の条件が y ∈ MT に対して Ay ∈ (Ty)− を満たす場合。
• 本稿は [7] の定理 2.2 の別証明を提供し、有限次元空間では T⊥B A が成り立つのは、MT 内の x, y が Ax ∈ (Tx)+ および Ay ∈ (Ty)− を満たす場合に限ることを示している。
• ヒルバート空間 H 上のコンパクト作用素 T ∈ K(H) に対して、T⊥ǫ_B A が成り立つのは、MT 内に Tx⊥ǫ_B Ax を満たす x ∈ MT が存在する場合に限る。これは MT が MA に含まれない場合でも成り立つ。
• 任意のノルム空間上の一般の場合、T, A ∈ B(X, Y) に対して、T⊥ǫ_B A が成り立つのは、次のいずれかが成り立つ場合に限る：(a) ∥Txn∥ → ∥T∥ を満たす列 {xn} が存在し、lim ∥Axn∥ ≤ ǫ∥A∥ である。または (b) 2つの列 {xn}、{yn} が特定の ǫn、δn → 0 を満たす二次不等式を満たす。
• 定理 3.4 の特徴付けは、従来の結果ではカバーされない作用素（MT が対称的でない、または MA に含まれないもの）を含み、より広範な適用性を示している。
• 本稿は、反例（ℓ² における非対称な MT を持つ作用素）を用いて、定理 3.1 がコロナリー 3.1.1 や 3.1.2 よりも広い作用素のクラスを含むことを示している。