[論文レビュー] Approximate Cech Complexes in Low and High Dimensions

Michael Kerber, R. Sharathkumar|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2013

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 17被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、位相的データ解析におけるČechフィルトレーションの2つの新しい近似手法を導入する：固定次元におけるwell-separated simplicial decompositions (WSSD) を用いた線形サイズの近似、およびアービトラリー次元に依存しない $(1+\varepsilon)$-近似フィルトレーションを可能にする Rips補題の一般化。主な貢献は、次元に依存しない近似フレームワークであり、スケーラビリティを向上させつつ位相的忠実性を保持する。

ABSTRACT

Čech complexes reveal valuable topological information about point sets at a certain scale in arbitrary dimensions, but the sheer size of these complexes limits their practical impact. While recent work introduced approximation techniques for filtrations of (Vietoris-)Rips complexes, a coarser version of Čech complexes, we propose the approximation of Čech filtrations directly. For fixed dimensional point set $S$, we present an approximation of the Čech filtration of $S$ by a sequence of complexes of size linear in the number of points. We generalize well-separated pair decompositions (WSPD) to well-separated simplicial decomposition (WSSD) in which every simplex defined on $S$ is covered by some element of WSSD. We give an efficient algorithm to compute a linear-sized WSSD in fixed dimensional spaces. Using a WSSD, we then present a linear-sized approximation of the filtration of Čech complex of $S$. We also present a generalization of the known fact that the Rips complex approximates the Čech complex by a factor of $\sqrt{2}$. We define a class of complexes that interpolate between Čech and Rips complexes and that, given any parameter $\eps > 0$, approximate the Čech complex by a factor $(1+\eps)$. Our complex can be represented by roughly $O(n^{\lceil 1/2\eps ceil})$ simplices without any hidden dependence on the ambient dimension of the point set. Our results are based on an interesting link between Čech complex and coresets for minimum enclosing ball of high-dimensional point sets. As a consequence of our analysis, we show improved bounds on coresets that approximate the radius of the minimum enclosing ball.

研究の動機と目的

• 正確なČech複体の計算コストが高いため、$k$-スケルトンで$O(n^k)$個の単体を含むことがあり、実用的利用を制限するための対処。
• 乗法的要因$(1+\varepsilon)$の範囲内で位相的正確性を保ちながら、スケーラブルなČechフィルトレーションの近似を構築すること。
• 固定次元点集合に対して、well-separated pair decompositions (WSPD) を高次元構造へ一般化する well-separated simplicial decompositions (WSSD) を開発すること。
• 完了複体を用いた次元に依存しないČech複体の近似を確立し、環境次元に指数関数的依存を回避すること。
• MEB-coresetとČech複体近似の関係を活用して、最小包含球 (MEB) のcoresetの境界を改善すること。

提案手法

• well-separated simplicial decompositions (WSSD) を導入し、WSPD の一般化として、点集合を $O(n/\varepsilon^d)$ 個のクラスタに分解する。ここで任意の単体がクラスタのタプルにカバーされることを保証する。
• WSSD を用いて各スケールでの本質的な位相的構造のみを表現することで、Čechフィルトレーションの線形サイズ近似を構築する。
• $k$-completion複体 $\mathcal{M}_k(K)$ を定義し、$K$ と同じ $k$-スケルトンを持つ最大の複体として定義することで、表現サイズと近似品質のトレードオフを可能にする。
• $\delta = \lceil 1/(2\varepsilon + \varepsilon^2) + 1 \rceil$ に対して、$\mathcal{M}_{\delta-1}(\mathcal{C}_\alpha) \subseteq \mathcal{C}_{(1+\varepsilon)\alpha}$ を証明し、完了複体と $(1+\varepsilon)$-近似を結びつける。
• 半径拡張の境界を求めるために、サイズが $\lceil 1/\varepsilon \rceil$ 以下の $\varepsilon$-coreset を用い、近似における半径拡張を制御する。
• Hellyの定理とcoresetの性質を用いて、単体の境界頂点が小さなcoresetを持つならば、その単体は拡張されたČech複体に含まれることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定次元点集合に対して、点数に線形サイズの近似でČechフィルトレーションを近似できるか？
• RQ2 環境次元に依存しない $(1+\varepsilon)$-近似を可能にするRips補題の一般化は存在するか？
• RQ3 well-separated simplicial decompositions (WSSD) は効率的に計算可能であり、Čechフィルトレーションのスケーラブルな近似に利用可能か？
• RQ4 最小包含球半径の $\varepsilon$-近似を保証する最小のcoresetのサイズは何か？ そしてこれは位相的近似とどのように関係するか？
• RQ5 $k$-スケルトンに基づく完了複体は、スケーラブルで次元に依存しないČech複体の近似を提供できるか？

主な発見

• 固定次元点集合に対して、WSSD を用いた線形サイズのČechフィルトレーション近似を構築し、単体数が $O(n)$ で抑えられることを示した。
• WSSD の構築は $n$ に対して多項式時間で実行可能であり、環境次元に依存せず、固定次元にのみ指数関数的依存する。
• スケール $\alpha$ におけるČech複体の $\delta$-完了、ここで $\delta = \lceil 1/(2\varepsilon + \varepsilon^2) + 1 \rceil$ であるが、これはスケール $(1+\varepsilon)\alpha$ におけるČech複体に含まれることを証明した。これにより、$(1+\varepsilon)$-近似が得られる。
• 完了複体のサイズは環境次元に依存せず $O(n^{\lceil 1/2\varepsilon \rceil})$ であり、$(1+\varepsilon)$-近さを達成するにはこの境界がタイトであることが示された。
• 近似フィルトレーションと正確なČechフィルトレーションのパーシステンス図は、最大で因子 $(1+\varepsilon)$ の差異しか持たないため、位相的忠実性が保証される。
• 改善されたcoreset境界が得られた：最小包含球の $\varepsilon$-coreset として、サイズが $\lceil 1/\varepsilon \rceil$ 以下のものが十分であり、この境界は点数や環境次元に依存しない。