[論文レビュー] Approximate Clustering via Metric Partitioning

Henzinger, Monika, Leniowski, Dariusz+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2015

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、メトリック分割と確率的技法を用いて、最小コストカバー問題（MCC）およびkクラスタリングのための準多項式時間(1+ε)-近似アルゴリズムを提示する。MCCに対しては(1+ε)-近似、kクラスタリングに対しては(1+ε)k個のボールを用いる。従来の3αおよびcαの保証に比べて向上しており、標準の複雑性仮定のもとで、αが入力に含まれる場合、MCCに対する多項式時間(1+ε)-近似は不可能であることを示している。

ABSTRACT

In this paper we consider two metric covering/clustering problems - extit{Minimum Cost Covering Problem} (MCC) and $k$-clustering. In the MCC problem, we are given two point sets $X$ (clients) and $Y$ (servers), and a metric on $X \cup Y$. We would like to cover the clients by balls centered at the servers. The objective function to minimize is the sum of the $α$-th power of the radii of the balls. Here $α\geq 1$ is a parameter of the problem (but not of a problem instance). MCC is closely related to the $k$-clustering problem. The main difference between $k$-clustering and MCC is that in $k$-clustering one needs to select $k$ balls to cover the clients. For any $\eps > 0$, we describe quasi-polynomial time $(1 + \eps)$ approximation algorithms for both of the problems. However, in case of $k$-clustering the algorithm uses $(1 + \eps)k$ balls. Prior to our work, a $3^α$ and a ${c}^α$ approximation were achieved by polynomial-time algorithms for MCC and $k$-clustering, respectively, where $c > 1$ is an absolute constant. These two problems are thus interesting examples of metric covering/clustering problems that admit $(1 + \eps)$-approximation (using $(1+\eps)k$ balls in case of $k$-clustering), if one is willing to settle for quasi-polynomial time. In contrast, for the variant of MCC where $α$ is part of the input, we show under standard assumptions that no polynomial time algorithm can achieve an approximation factor better than $O(\log |X|)$ for $α\geq \log |X|$.

研究の動機と目的

• αパワーコスト関数の下で、メトリックカバーおよびクラスタリング問題に対する効率的な近似アルゴリズムの設計を目的とする。
• 従来の多項式時間アルゴリズムがMCCに対しては3α、kクラスタリングに対してはcαの近似にとどまっていたという制限を克服することを目的とする。
• 多項式時間での(1+ε)-近似が不可能である場合でも、準多項式時間で(1+ε)-近似が達成可能かどうかを検討することを目的とする。
• αが入力に含まれる場合のMCCに対するタイトな近似不能性の境界を確立し、多項式時間で得られる最良の近似因子がO(log |X|)であることを示すこと。
• 基本的なMCCモデルを超えて、施設開設コストを含む変種に対しても一般化可能であることを示し、手法の拡張性を示すこと。

提案手法

• 最適解の構造的性質を活用して、最適なボールと交差する回数を減らすように、メトリック空間の確率的分割を用いてカバーを構築する。
• メトリック分割に基づく再帰的分解戦略を採用し、各分割を独立に処理することで近似解を構築する。
• 線形計画緩和から得られる分数解に対して丸め処理を施し、適切なボール半径の選択によって(1+ε)-近似を保証する。
• 幾何的分治法にインspiredされた分離定理を一般メトリック空間に適応し、分割が交差するボールの数を制限する。
• 分割によるコスト増加を、構築されたボールの半径と最適解の半径との関係に着目することで、新たな解析フレームワークを導入する。
• 支配集合問題をMCCに還元することで近似不能性を示し、αが入力に含まれる場合、MCCに対して(c log |X|)-近似が可能であるとすればP = NPであることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多項式時間アルゴリズムの制限があるにもかかわらず、MCCおよびkクラスタリングに対して準多項式時間で(1+ε)-近似が達成可能かどうか。
• RQ2 αが入力に含まれる場合、MCCに対する多項式時間で達成可能な最良の近似比は何か。
• RQ3 α > 1の場合、メトリック空間における最適解の構造はどのように変化するか。この性質をアルゴリズム的に活用可能か。
• RQ4 MCCに用いた手法を、自然な方法で施設開設コストを含む変種に拡張可能か。
• RQ5 現在の技術的水準を踏まえ、kクラスタリングに対して準多項式時間で(1+ε)-近似が達成可能かどうか。

主な発見

• 本稿は、メトリック分割と確率的技法を用いて、MCCおよびkクラスタリングの両方について、初めての準多項式時間(1+ε)-近似アルゴリズムを提示する。
• kクラスタリングでは、(1+ε)k個のボールを用いて(1+ε)-近似を達成する。従来の多項式時間で得られるcα近似に比べて向上している。
• αが入力に含まれる場合、MCCに対しては、標準の複雑性仮定のもとで、O(log |X|)より良い近似は多項式時間では達成不可能であることを示している。
• 近似不能性の結果は、最小支配集合問題への還元によって確立されており、MCCに対して(c log |X|)-近似が可能であるとすればP = NPであることを示している。
• 本手法は、施設開設コストを含むMCCの変種に対しても一般化可能であり、準多項式時間で(1+ε)-近似が得られる。
• 結果として、準多項式時間ではこれらの問題に対して(1+ε)-近似が可能であることが示され、多項式時間での(1+ε)-近似が不可能である場合でも成立する。