[論文レビュー] Approximate construction of rational approximations and the effect of error autocorrection. Applications

Grigori Litvinov|ArXiv.org|Jan 5, 2001

Numerical Methods and Algorithms参考文献 18被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、有理近似法における誤差自己補正現象を調査する。ここで、分子および分母の係数誤差が互いに相殺されることで、線形方程式系の条件数が著しく高い状況下でも近似精度が維持される。研究では、相対誤差が10⁻⁴に達するような著しい係数摂動に対しても、cos(x)、arctan(x)、その他の初等関数の近似において、相対誤差が0.46×10⁻¹³にまで低くなる高精度な有理近似が得られることを示している。

ABSTRACT

Several construction methods for rational approximations to functions of one real variable are described in the present paper; the computational results that characterize the comparative accuracy of these methods are presented; an effect of error autocorrection is considered. This effect occurs in efficient methods of rational approximation (e.g., Pade approximations, linear and nonlinear Pade-Chebyshev approximations) where very significant errors in the coefficients do not affect the accuracy of the approximation. The matter of import is that the errors in the numerator and the denominator of a fractional rational approximant compensate each other. This effect is related to the fact that the errors in the coefficients of a rational approximant are not distributed in an arbitrary way but form the coefficients of a new approximant to the approximated function. Understanding of the error autocorrection mechanism allows to decrease this error by varying the approximation procedure depending on the form of the approximant. Some applications are described in the paper. In particular, a method of implementation of basic calculations on decimal computers that uses the technique of rational approximations is described in the Appendix. To a considerable extent the paper is a survey and the exposition is as elementary as possible.

研究の動機と目的

• 有理近似が、係数計算に著しい丸め誤差が生じても精度が保たれる理由を理解すること。
• Padé近似およびPadé–Chebyshev近似における誤差自己相関のメカニズムを調査すること。
• 標準的な不適切な問題の手法（例：正則化）が、この文脈では精度を低下させ、計算コストを増加させることを示すこと。
• 誤差自己補正が、追加の変換なしに近似アルゴリズムの単純化と正当化を可能にすることを示すこと。
• 小数点精度が限られたコンピュータ上で正確な有理近似を実装する実用的手法を提供すること。

提案手法

• 実区間上の関数に対して、有理近似式 R(x) = P_n(x)/Q_m(x) の係数を線形代数的方程式系によって計算する。
• 摂動に対して敏感であることが知られる悪条件線形方程式系を解く手法を適用する。
• ICL–4–50およびES–1045コンピュータ上で、丸め誤差の異なるプラットフォーム間で近似式を比較するためのコンピュータ実験を実施する。
• 係数摂動の構造を分析し、それが同じ関数に対する新たな有理近似を形成することを示す。
• 誤差自己補正を活用するための構築手順の修正を提案し、より高い耐障害性を実現する。
• 付録で、小数点コンピュータ向けに実装されたアルゴリズムのFortranコードを記述する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ有理近似式は、係数が著しい相対誤差を伴って計算されても、高精度を維持するのか？
• RQ2 有理近似式の分子および分母における誤差が、全体の近似品質を保つためにどのように相互作用するのか？
• RQ3 なぜ標準的な正則化手法が、この文脈では精度を向上させないのか？また、計算コストにどのような影響を与えるのか？
• RQ4 誤差自己補正効果を体系的に活用することで、有理近似アルゴリズムの単純化や強化が可能になるか？
• RQ5 誤差自己補正は、係数計算において数値的に不安定なアルゴリズムを正当化するために、どの程度利用可能か？

主な発見

• cos(x) について [−π/4, π/4] の区間で、m=4、n=6 の有理近似式は、条件数が10⁹であり、係数摂動が小数点6–9位までに及ぶにもかかわらず、相対誤差 0.55×10⁻¹³ を達成する。
• arctan(x) について [−1,1] の区間で、ICL–4–50およびES–1045の異なるコンピュータ間で、相対誤差が0.5×10⁻¹¹に保たれる。これは、係数摂動が10⁻⁴に達し、条件数が10¹¹であるにもかかわらず成立する。
• 近似式の誤差は、係数摂動に対して不変である。これは、摂動を加えた係数が同じ関数を表す新たな近似式を形成するため、誤差が相殺されるからである。
• 標準的な区間算術および正則化手法は、この効果を考慮せず、精度を悪化させる可能性があり、最大で3分の2の有効数字を失うことがある。
• 誤差自己補正現象はPadé近似に限らず、線形および非線形のPadé–Chebyshev近似に対しても拡張可能である。
• 本稿では、誤差自己補正が、係数計算が不安定であっても、堅牢で高精度な近似を可能にし、低精度の小数点コンピュータ上での実用的利用を可能にすることを示している。