[論文レビュー] Approximate controllability and optimal control of impulsive fractional semilinear delay differential equations with non-local conditions

Lakshman Mahto, Syed Abbas|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2013

Nonlinear Differential Equations Analysis参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、サドフスキーの不動点定理、半群理論、およびコスト関数 functional の直接最小化を用いて、非局所的初期条件を有するインパルス的分数階線形でない遅れ微分方程式の近似的可制御性および最適制御を確立する。主な貢献は、リプシッツ連続性とコンパクト性の弱い条件下で、弱解および最適制御の存在を証明することである。その有効性はヒルバート空間設定における具体的な例によって検証されている。

ABSTRACT

In this paper we study the approximate controllability and existence of optimal control of impulsive fractional semilinear delay differential equations with non-local conditions. We use Sadovskii's fixed point theorem, semigroup theory of linear operators and direct method for minimizing a functional to establish our results. At the end we give an example to illustrate our analytical findings.

研究の動機と目的

• インパルス的分数階線形でない遅れ微分方程式の近似的可制御性を調査すること。
• コスト関数 functional の直接最小化を用いて、このようなシステムにおける最適制御の存在を確立すること。
• 既存の可制御性および最適制御に関する結果を、インパルス、遅れ、非局所的初期条件を有する分数階システムへと拡張すること。
• 工学および物理学分野の現実世界のシステム（記憶特性および急変動を有するもの）に適用可能な理論的枠組みを提供すること。

提案手法

• インパルス的分数階遅れ系の弱解の存在を証明するために、サドフスキーの不動点定理を用いる。
• 分数階微分項 $ D_t^eta $（$ \beta \in (1,2) $）を扱うために、領域型線形作用素の半群理論を適用する。
• コスト関数 functional $ J(u) $ の直接最小化法を用い、下半連続性および凸性の仮定の下で最適制御の存在を保証する。
• 非線形性およびインパルスのリプシッツ連続性と、解作用素 $ S_\alpha(t) $ を用いたノルム推定を組み合わせて、制御列の収束を確立する。
• バルドラックの定理を用いて、コスト関数 functional の下界が最適制御において達成されることを確認する。
• 第5節の具体的な例を通じて、理論的結果を検証する。この例では、$ L^2(0,\pi) $ 上の分数階偏微分方程式が、定理3.4および定理4.1のすべての仮定を満たす抽象的システムに再定式化可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非局所的初期条件を有するインパルス的分数階線形でない遅れ系の弱解が、どのような条件下で近似的に可制御となるか？
• RQ2 コスト関数 functional が下半連続的かつ凸的である場合、このようなシステムに対して最適制御を保証できるか？
• RQ3 インパルス、遅れ、非局所的初期条件は、分数階システムの可制御性および最適制御にどのように影響を与えるか？
• RQ4 領域型作用素および解析的半群は、解の存在性および正則性を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 非線形項およびインパルスに弱いリプシッツ連続性およびコンパクト性条件が課された下で、システム (1.1) は弱解を有する。
• 作用素 $ A $ が領域型であり、制御から状態への写像がコンパクトである場合、到達可能状態の像が稠密となるため、近似的可制御が達成される。
• 最適制御 $ u^0 \in U_{ad} $ は存在し、コスト関数 functional $ J(u) $ を最小化する。すなわち、すべての許容制御 $ u $ に対して $ J(u^0) \leq J(u) $ が成り立つ。
• 制御列 $ u^m \to u^0 $ の収束は、対応する状態軌道 $ x^m \to x^0 $ の強い収束を意味し、最適解の安定性が保証される。
• 第5節の例は、遅れおよびインパルスを有する分数階偏微分方程式が、定理3.4および定理4.1のすべての仮定を満たす抽象的システムに再定式化可能であることを示している。
• 性能指標 $ J(u) $ は有限であり、最小値に達することが確認され、$ L^2(I,U) $ 内に最適制御が存在することが裏付けられる。